Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [ 43 ] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

При т - О ряд сходится к я*/3, т. е. дисперсия фазы равна яЗ. Действительно, при распределении (4.79)

De 5 ере (в) dd

(4.81)

3. ЧАСТОТА

Основываясь на выражении (4.60), мгновенную частоту шума можно записать в форме

,(,)=о.„+=со„ + е(о,

(О I

откуда видно, что закон распределения мгновенной частоты определяется распределением производной фазы б.

Приведем без вывода [14] выражение для плотности вероятности случайной величины 0

р(9) =

2Дсй,

1 +-

(ДсОэк)

\3/2

(4.82)

где Асоэк - эквивалентная ширина спектра узкополосного процесса, определяемая выражением

(4.83)

(Д(Оз,)* = С (« - сОо)2 W (со) doy nW (w) d(o.

Последнее выражение эквивалентно формуле

(Ao,3.)==-!MlLI ,

dx т=о

где Го (т) - огибающая нормированной корреляционной функции процесса, обладающего спектром W (w) [симметричным относительно центральной частоты Wol.

График функции р (0) изображен на рис. 4.18. Среднее значение абсолютной величины Э равно AWj„.

Рассмотрим в качестве примера случай, когда энергетический спектр W (w) равномерен в полосе частот ±Aw при центральной частоте соо. Нормированная корреляционная функция в соответствии с выражением (4.44)

, . sin ДсопТ , ч sin ДсопТ sin у

-х{) = --cosWoT, а Го(т) --.

ДсооТ ДсооТ у

Дважды дис}х})еренцируя последнее выражение по т, находим го (т)«


(f -У г/-VcosУ+2у У

При т -*-0 и у -0 получаем -о(0)= -у- (W.

(4.83)

1й>эк

Рис. 4.18. Плотность вероятности производной фазы гауссовского случайного процесса

Аы, = У-Гоф) = Дюо/К 3 . (4.83") Итак, для шума со спектром, равномерным в полосе (-Дшо. о) (см. рис. 4.9), среднее значение 0 равно До)о/]/3.



4.7. КОМПЛЕКСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Пусть задан действительный стационарный случайный процесс х (t) со спектром Wx («). В теории случайных процессов доказывается, что если X (t) дифференцируем в среднеквадратическом смысле так, что выполняется условие J ioWx (to) dco < оо, то к л: (t) можно применить интеграль-

- ос

ное преобразование

(О--- \ dr.

причем интеграл также понимается в среднеквадратическом смысле.

Определенный таким образом случайный (стационарный) процесс Xi (t) по отношению к х (t) является сопряженным (по Гильберту), а процесс

z{t)==x (t) + ixi (t) (4.84)

являетсякомплексным случайным процессом.

Применение понятия комплексного случайного процесса особенно полезно при рассмотрении узкополосных процессов. Если х (t) можно представить в виде X (t) = А (t) cos [(Dgt + 0 (l, где A (t) и Q (t) - случайные функции, то, как и для детерминированного аналитического сигнала (см. § 3.10), Xl (t) = А (t) sin [соо + 0 (t)] и

г(0 = Л(Ое["«+в (О] . (4.85)

Поясним физический смысл этого понятия на модели (рис. 4.19), аналогичной использованной в гл. 3 модели с}х)рмирования детерминированного аналитического сигнала (см. рис. 3.29).

Пусть узкополосный стационарный шум со спектром Wx (со) поступает на выход по двум каналам: прямому и через фазосдвигающее звено с характеристикой ф («) = -90° (в полосе шума). Различие между процессами X (t) и Xl (t) обусловлено лишь влиянием фазосдвигающего звена. Амплитудно-частотная характеристика этого звена равна единице, следовательно, спектры мощности процессов х (t) и Xi (t) одинаковы: l.xi( со) = U (со). То же относится к корреляционным функциям

/?.(т) = /?..(т) = 5 r.(co)e«>dco

- оо

и к дисперсиям

ol = al. = /?,(0) = -- \ (со)dco.

(Имеются в виду процессы с нулевым средним.)

Найдем теперь спектральную и корреляционную функции совокупности процессов X (t) H.Xi (t).

С этой целью выделим одну из реализаций процесса х (t) и обозначим через XhT (w) спектральную плотность отрезка k-u реализации с конечной

Источник

Рис. 4.19. Формирование y!°°f°t, случайного аналитического процесса

ного шума




длительностью Т (см. § 4.3). Этот же отрезок -й реализации на выходе канала со звеном ф (со) = -90° будет иметь спектральную плотность Xir («) = = Хйг (w) еР(»)= -f XhT (со) при со > О и +i Хт (ю) при ю < 0.

Рассматривая совокупность отрезков хт (t) и Xir (О <9К сумму /сва(9-ратурных колебаний

ZkT{t) -=XkT{t)-ix\kT (О,

можно определить спектральную плотность отрезка гг (О следующим образом:

при О) > О

Zftг (о)) = XkT (со) + П - iX* 7- (ю)I = 2Х* г (м); при « < О

Z*r(w) = Xftr(co) i-/(tX*,r(co) -0.

На основании этих равенств можно утверждать , что xj (t) является по отношению к хт (О функцией, сопряженной по Гильберту (см. §3.9) и, следовательно, при определении спектра и корреляционной функции аналитического случайного процесса (4.84) исходить из выражений, аналогичных (3.87) и (3.95), выведенных в § 3.10 для детерминированного аналитического сигнала

Переходя в выражении (3.87) от спектральной плотности So (со) колебания (напряжение, ток) к спектральной плотности W (ы) средней мощности исходного колебания х (/), получаем

ГЛсо) = ) при со > О, \0 при о)<0.

Применяя теорему Винера - Хинчина 1см. (4.39)1, находим корреляционную функцию аналитического случайного процесса

(т) = 1" 4Ц7 (о)) е" ci« =- 4 - W (со) co.s шйы + 1 "

-Г i4 - W\ (и) sin сот cfoj. (4.87;

Это выражение совершенно аналогично выражению (3.95). Как и для детерминированного аналитического сигнала, (т) - комплексная корреляционная функция. Действительная часть этой функии совпадает с удвоенной корреляционной функцией исходного процесса х (t), т. е. с 2Rx (т), а мнимая часть учитывает взаимную корреляцию процессов х (/) и х (t).

Комплексный характер корреляционной функции R (т) обусловлен тем, что спектр W, (т) несимметричен относительно оси « = О, т. е. существует только в области w > 0.

При т -- О мнимая часть в соотношении (4.87) обращается в нуль, что означает некоррелированность процессов х (t) и Xi (t) в один и тот же момент t.

По аналогии с выражениями (3.96) можно написать

R, (т) = 2Rx (т) 4- i2R,, (т). (4.88)

1.34

Rx,x (т) = 2 -- Г ш) sin «т dr. (4.89)

2л J о



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [ 43 ] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0013