Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [ 44 ] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

Характер взаимной корреляционной функции (т) определяется

формой энергетического спектра процесса Wх (w)-

При т = О Rx,x (0) = О и, следовательно, средняя мощность аналитического случайного процесса

D,=a=/?aO) = 2/?,(0)=2D. (4.90)

Очевидно также, что средние мощности процессов х (О и х (t) одинаковы: Dx = Dx,.

Проиллюстрируем свойства корреляционной функции Rx,x (т), входящей в выражение (4.88), на при.мере, когда исходный узкополосный аналитический процесс л: (О обладает спектром прямоугольной формы при центральной частоте Wq и полосе < Шц. Подобный спектр показан на рис. 4.9 (двойная штриховка).

Приравнивая в (4.89) Wx (w) = Wi (со) и интегрируя в пределах от со,, - Q-,/2 до «о + х получаем

„ , , п 1*11 sin (й, т/2) . „ sin (Q,т/2) .

R (т) = 2 --- - sm а>пТ =- D.- sin соц т.

Здесь через Dx = Wi2Fi обозначена дисперсия исходного процесса х (().

В данном примере огибающая sin (Qit/2)/(Qit/2) взаимной корреляционной функции Rx,x (т) совпадает с огибающей корреляционной функции Rx (т) см. (4.44)1. Различие между двумя этими функциями заключается в фазах высокочастотного заполнения [cos в Rx (т) и sin в Rx,x i")-

При т = О (т) = О - процессы (t) а х (t) в один и тот же момент времени некоррелированны. Однако при ЮоТ = я/2 т=-л/2ю(, = 1/4/(, -

- функция Rx,xiT:)i/ifo= DxSim (~I\. При Fi oС 1 эта функ-ция достигает максимального значения, близкого к Dx ~о1.

4.8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ. ПРОСТРАНСТВО СИГНАЛОВ

Рассмотренные в § 2-2 способы разложения произвольных сигналов по заданной системе ортогональных функций можно вывести из общей теории линейных пространств, составляющей один из разделов высшей алгебры.

Действительно, пусть сигнал s (t) с конечной энергией Э представлен в виде обобщенного ряда Фурье (2.14):

s(0=Vc„9„(0. (4.91)

п= 1

Предполагается, что первые т слагаемых ряда обеспечивают требуемую точность представления сигнала s (t).

В § 2.2 были установлены следующие соотношения между энергией Э, нормой функции S (/), обозначаемой s, и спектральными коэффициентами с„ (действительного сигнала):

3 = jsP= \s(t)dt, (4.92) f

lsP= V (с„Р(ф„(( (4.93)

я= 1

В этих выражениях \ обозначает интеграл по интервалу времени Г, f

а ф„-- норму базисной функции ф„ (О-



Выражение (4.93) ничем не отличается от известного из векторной алгебры определения нормы вектора S в ш-мерном линейном (векторном) пространстве. Это позволяет поставить в соответствие сигналу s (t) вектор S, проведенный из начала координат в соответствующую точку пространства. При этом слагаемое с„фп (t) должно трактоваться как проекция вектора S на п-ю ось системы координат.

При использовании ортонормированной системы, когда ф„)[1. выражение (4.93) принимает вид

II S IP =II SII- V с„р==Э. (4.93)

п= 1

в этом случае Пф„ является нормой единичного вектора (орта), определяющего направление /г-й оси системы координат, а вектор сигнала s (?) можно записать в виде вектора-строки

S-{Ci, ...,с„}, (4.94)

В этом смысле можно говорить о пространстве, каждый элемент которого является вектором, представляющим определенный сигнал; можно также говорить, что каждая точка в пространстве сигналов, являющаяся концом вектора, проведенного из начала координат, соответствует определенному сигналу.

Длина вектора (норма), как это вытекает из (4.93), равна 5/.

Следовательно, всем сигналам с одинаковой энергией Э, независимо от их формы, соответствуют точки, расположенные на многомерной сфере радиуса Э.

Пространство сигналов является функциональным, поскольку каждый его элемент характеризуется не мгновенным значением s (/), а некоторым функционалом от s (?). К таким функционалам относятся, например, энергия сигнала 5 = j s (?)* dtw спектральные коэффициенты

Сп = I 5(?)ф„ (О Л.

Для иллюстрации понятия «пространство сигналов» удобна базисная функция вида sin х/х (ряд Котельникова), когда коэффициентами ряда (4.91) являются отсчеты самого сигнала s (?) в моменты времени ? = пАс (см. §2.15), так что выражение (4.94) принимает вид

S = {S (Д?), S (2Д?).....S (тЩ. (4.95)

Этот частный случай интересен тем, что координатами сигнальной точки (конца вектора S) в пространстве сигналов являются отсчеты сигнала S (?) в дискретные моменты времени ? = nAt.

Множество функций s (?), для которых норма (4.93) ограничена (сигналы с конечной энергией), называются пространством L. Если такие сигналы определены на интервале Т, то используется обозначение (Т).

Для передачи сигналов по каналу с помехами, а также для разрешения сигналов основное значение имеет не положение сигнальной точки в пространстве сигналов, а расстояние между точками, представляющими различные сигналы. Для выяснения смысла термина «расстояние между сигналами» воспользуемся известными свойствами скалярного произведения векторов.

Пусть имеются два вектора X, У, заданные своими координатами, соответственно ai, aj, и Pi, Рг. т- X = (а, а, а„}, Y = = {К Ра..... Рт}-



Скалярное произведение (X, Y) определяется выражением

(X, а„Р.. (4.96)

п= 1

с другой стороны, (X, Y) желательно выразить через функции времени X (t), У (t), соответствующие векторам X, Y.

Из векторной алгебры известно соотношение

xit)y(t)dt. (4.97)

В справедливости этого соотношения нетрудно убедиться подстановкой

В (4.97) x{t) S ««Ф« (О и у (О = 2 Р„Ф„ (/).

п= 1 п= 1

После перемножения сумм получим два вида слагаемых: с одинаковыми и с разными индексами. В силу попарной ортогональности базисных функций слагаемые второго вида после интегрирования обращаются в нуль. Интегрирование слагаемых первого вида приводит к выражению (4.96).

Учитывая, что правая часть равенетва(Ф797) есть не что иное, как взаимная корреляционная функция детерминированных сигналов х (f) и у (t) (при сдвиге т = 0) [см. (2.134)], приходим к важному результату

(X, Y).-B,,(0) >а„Р„. (4.98)

п= 1

Из этого соотношения следует\ что если сигналы взаимно некоррелированны [Вху (0) = 0], то соответствующие им векторы ортогональны [(X, У) = = 0].

В частном случае У = X выражение (4.98) дает равенство

(X, X) =: fi,, (0) V II X IP = Эх, (4.99)

п= 1

т. е. квадрат нормы вектора X совпадает с определением корреляционной функции сигнала х (t) (при т = 0).

На основе приведенных выше соотношений нетрудно определить расстояние dxy между двумя сигнальными точками в пространстве сигналов как норму разностного вектора X-У:

d,, = X-y.

Квадрат этой нормы в соответствии с (4.99) равен скалярному произведению вектора X-У на вектор X-У

di,x-yp=(x-y,x-y).

Для скалярного умножения векторов верен распределительный закон, т. е.

(а, Ь+с)(а. Ь) + (а, с). Следовательно,

dly =.(Х, X-f (У, У)-(У, Х)-(Х, У) =5, \-Эу-2Эху.

1 Напомним, что символами 6s (т) и В (т) обозначены соответствующие функции детерминированных сигналов.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [ 44 ] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0014