Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [ 57 ] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

Глава 6. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

6.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В радиоэлектронике приходится иметь дело с различными сигналами и разнообразными (в основном инерционньши) цепями. При передаче сигналов по таким цепям возникают переходные процессы, которые влияют на форму сигналов и в конечном счете на содержащуюся в них информацию. В гл. 1 отмечалось, что большинство радиотехнических устройств представляет собой сочетание линейных и нелинейных элементов. Это усложняет строгий анализ переходных процессов, так как классические методы, основанные на использовании принципа суперпозиции, являются линейными.

Имеется, однако, широкий круг практических задач, которые можно успешно решать линейными методами. Такие задачи встречаются прежде всего при передаче слабых сигналов через усилители и другие устройства, которые по отношению к слабым сигналам практически линейны. Даже в существенно нелинейных устройствах, например радипередатчиках, можно рассматривать прохождение сигналов через колебательные цепи на основе линейных методов.

Напомним основные методы, которые используются при анализе прохождения сигналов через радиоэлектронные цепи.

Для простейших цепей, описываемых дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, задачу обычно нетрудно решить классическим методом дифференциальных уравнений.

Для сложных цепей значительно удобнее методы, основанные на спектральном представлении сигнала: метод интеграла Фурье и тесно с ним связанный операторный метод (преобразования Лапласа). Наряду со спектральными методами в радиоэлектронике часто используется также метод интеграла наложения, сводящийся к свертке входного сигнала с импульсной характеристикой цепи.

При передаче радиосигналов через узкополосные избирательные цепи указанные методы используются с упрощением, основанным на медленности изменения огибающей сигнала.

В данной главе излагаются основные положения теории передачи детерминированных сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами.

6.2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД

В основе этого метода лежит использование введенной в предыдущей главе передаточной функции цепи К (го)) (см. § 5.3). Если на входе линейного четырехполюсника действует сигнал произвольной формы в виде ЭДС е (t), то, применяя спектральный метод, следует определить спектральную плотность входного сигнала Е (&)). Эта операция легко осуществляется с помощью выражения (2.48). Умножением Е (со) на К (t«) определяется спектральная плотность сигнала на выходе четырехполюсника. Наконец, применение к произведению Е (и) К (tw) обратного преобразования Фурье см. (2.49)] определяет выходной сигнал в виде функции времени.

Таким образом, если входной сигнал записан в виде интеграла.

6(0 = -- Г E(u))e»»du), (6.1)

2п J

- ОО



то выходной сигнал аналогичной форме

можно представить в

U (О = - Г Е («Ж (№) е" da. (6.2) 2я J

Полюсы функции К©

Полюсы Функции


Контур интегрирования

Рис. 6.1. Коитур интегрирования при ОО

Сравнение выражения (6.2) с (6.1) показывает , что сигнал на выходе линейной цепи можно получить суммированием составляющих спектра Е (со) входного сигнала, взятых с весом К (ш). Иными словами, передаточная функция цепи К (ico) является весовой функцией, определяющей относительный вклад различных составляющих спектра Е (со) в сигнал и (t).

В § 2.14 отмечалось, что анализ переходных процессов значительно упрощается при представлении как внешнего воздействия, так и передаточной функции в виде преобразований Лапласа. При этом обозначение передаточной функции можно сохранить прежним, а изменить только аргумент, так что К (ш) перейдет в К (/?) Функция же Е (со) переходит в (р) (см. § 2.14). Преобразование Лапласа от функции времени е (i) в дальнейшем обозначается символом Е (р). При этом выражение (6.2) приводится к виду (см. §2.14)

C+iao

U{t)

Е{р)К{р)еЧр.

(6.3)

При t> О замкнутый контур интегрирования, образованный добавлением дуги бесконечно большого радиуса в левой полуплоскости (рис. 6.1), охватывает все полюсы подынтегральных функций как Е (р), так и К (р), благодаря чему имеет место соотношение

uit)=-I- (E{p)K{p)eP4p:ves, t>0

(6.4)

(здесь 2res - сумма вычетов в указанных полюсах).

При <:0 контур интегрирования лежит в правой полуплоскости, не содержит полюсов и интеграл равен нулю.

Показанное на рис. 6.1 расположение полюсов функции Е (р) (на мнимой оси) соответствует ЭДС вида е (t) = Eg созсоц, существующей при t > 0.

Итак вычисление интеграла (6.4) сводится к определению вычетов в полюсах подынтегральной функции. Представим подынтегральную функцию выражения (6.4) в виде

Ё (р) К (р) = V{p)e"=C {p)/D ip). (6.5)

В данном случае знаменатель D (р) образуется произведением множителей вида {р - Piji), где р„1 - полюсы не только функции К, (р), но и функции Е (р).

Тогда вычет функции С (p)/D ip), имеющей в точке pi простой полюс (первой кратности), определится формулой

\dD (Pl

dp Jp = Pi

res;

i=C{pi)l

(6.6)



Если функция С {p)ID (р) имеет в точке pi полюс кратности k [k - целое положительное ч исло), то

resj-

{k-\)\ dp

C(P) D(P)

{p-PiY

(6.7)

Методика применения контурных интегралов для определения некоторых функций, играющих большую роль в теории переходных процессов, будет в дальнейшем пояснена на примерах.

6.3. МЕТОД РШТЕГРАЛА НАЛОЖЕНИЯ

Вместо разложения сложного сигнала на гармонические составляющие (спектральный метод) можно воспользоваться разбиением сигнала на достаточно короткие импульсы (рис. 6.2, а).

Если в основе спектрального метода лежит передаточная функция цепи К (го)), то метод интеграла наложения базируется на импульсной характеристике цепи g (t), введенной в § 5.3.

Пусть требуется найти сигнал s„bix (О на выходе цепи, если задан сигнал S (t) на входе цепи и известна ее импульсная характеристика g (t). Для уяснения сути метода интеграла наложения поступим следующим образом. Разобьем произвольный сигнал s (х) на элементарные импульсы, как это показано на рис. 6.2, а, и найдем отклик цепи в момент t на элементарный импульс (на рис. 6.2, а заштрихован), действующий на входе в момент х. Если бы площадь этого импульса равнялась единице, то импульс можно было бы рассматривать как дельта-функцию, возникшую в момент х. При и.мпульс-ной характеристике цепи g (х) отклик в момент t был бы, очевидно, равен g (t-х). Поскольку, однако, заштрихованная на рис. 6.2, а площадь импульса равна S (х) Ах (а не единице), отклик в момент t будет s (х) Ах g (t - -х).

Для определения полного значения выходного сигнала в момент t нужно просуммировать действие всех импульсов в промежутке от л: = О до л: = При Ах -0 суммирование сводится к интегрированию.

Следовательно,

SBuxiusix)g(t-x)dx.

(6.8)

В общем случае, если начало сигнала s (х) не совпадет с началом отсчета времени х, последнее выражение можно записать в форме

W(0= J six)g{i-x)dx. (6.9)



Рис. 6.2. Разбиение сигнала на короткие импульсы (а) и свертка сигнала с импульсной характеристикой (б)



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [ 57 ] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0046