Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [ 5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

Умножим обе части уравнения (2.8) на ф„ (х) и проинтегрируем в пре-

делах а, Ь. Все слагаемые вида j" сфт (х) Фп (х) dx при т обращаются

В нуль В силу ортогональности функций фт (л;) и ф„ (х). В правой части остается одно слагаемое

J Сп Фп {х) Ф„ {х) djf = с„ j ф (л:) dx с„ Ц ф„

ЧТО позволяет написать

\f{x)<(x)dxc„ 11 ф,И1

откуда следует важное соотношение

II фп f

t{x)if{x)dx. (2.9)

Ряд (2.8), в котором коэффициенты определены по формуле (2.9), называется обобщенным рядом Фурье по данной системе Ф„ (х). Совокупность коэффициентов с,, называется спектром сигнала / (л:) в ортогональной системе ф„ (л:) и полностью определяет этот сигна:л.

Обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством: при заданной системе функций ф (л:) и фиксированном числе слагаемых ряда (2.8) он обеспечивает наилучшую аппроксимацию (в смысле минимума сред-неквадратической ошибки) данной функции / {х). Это означает, что средне-квадратическая ошибка, под которой подразумевается величина

п = 0

достигает минимума, когда коэффициенты ряда а» = с„.

Действительно, подставив в предыдущее выражение а„ = + Ь„ и использовав равенства (2.4), (2.6) и (2.9), получим

\P(x)dx- i bllf.

i n=0 n=0

Отсюда следует, что М достигает минимума при = О, т. е. при а„ = = с„. Таким образом,

M„„n- \Pix)dx~ 2 -Ш?. (2.10)

Так как величина

l!4x)dx=m

является квадратом нормы функции / {х), а Мпцп > О, то на основании (2.10) можно написать следующее неравенство:

i сЦф.г11/1р. (2-11)

п = 0



Это основное неравенство, называемое неравенством Бесселя, справедливо для любой ортогональной системы.

Ортогональная система называется полной, если увеличением числа членов в ряде среднеквадратическую ошибку ЛТ можно сделать сколь угодно малой.

Условие полноты можно записать в виде соотношения

(2.12)

При выполнении этого условия можно считать, что ряд (2.8) сходится в среднем, т. е.

r,,<f„ix)

dx==0.

(2.13)

Из этого, однако, еще не следует, что 2 пФп (х) сходится к / (х), т. е.

fix)- с„ф„(х)

при любых значениях л:. В п. 1 § 2.4 будет приведен пример, показываю-

щий, что в отдельных точках на оси х ряд 2 пФя (х) может отличаться от

fix), хотя равенство (2.13) имеет место.

Для системы функций ф„ (л:), принимающих комплексные значения, приведенные выше определения обобщаются следующим образом:

условие ортогональности

j ф„ ix) фт ix) dx = 0 при n =7 т; (2.4)

квадрат нормы функции

II Ф„ IP = J Ф„ ix) ix) dx - j 1 ф„ ix) p dx;

коэффициенты Фурье

ir~ \ix)nix)dx.

(2.6)

(2.9)

В этих выражениях ф* (л:) обозначает функцию, комплексно-сопряженную функции ф ix).

Применительно к сигналам s (О, являющимся функциями времени, выражение (2.8) в дальнейшем будет записываться в форме

5(0- V с„ф„(0-

(2.14)

В новых обозначениях квадрат нормы функции s it) по аналогии с (2.6) будет

lis IP = f sit)dt=3. (2.15)

Это выражение совпадает с (2.1).



Таким образом, в соответствии с формулой (2.12) энергия сигнала 5=5 1с„111фп1Р, (2.16)

а при использовании ортонормированной системы функций (t)

i (2.16)

п = 0

При этом имеется в виду, что промежуток времени - j, в котором определяется энергия Э, тпттсп интервалом ортогональности яя системы функций ф„ {t).

Очевидно, что средняя за время - мощность сигнала

sW=t ==tVS \ nY\Wnf. (2.17)

Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции в ряд. Среди разнообразных задач, требующих разложения сложного сигнала, наиболее важными являются: 1) точное разложение на простейшие ортогональные функции; 2) аппроксимация сигналов, процессов или характеристик, когда требуется свести к минимуму число членов ряда (при заданной допустимой погрешности).

При первой постановке задачи наибольшее распространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций - синусов и косинусов. Это объясняется рядом причин. Во-первых, гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цепь (с постоянными параметрами). Изменяются лишь амплитуда и фаза колебания. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи. По этим, а также и некоторым другим причинам гармонический анализ получил широкое распространение во всех отраслях современной науки и техники.

При второй постановке задачи - приближенном разложении функций - применяются разнообразные ортогональные системы функций: полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра, функции Уолша и многие другие. Некоторые из этих систем функций будут рассмотрены в гл. 14.

2.3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

При разложении периодического сигнала $ (t) в ряд Фурье по тригонометрическим функциям в качестве ортогональной системы берут

1, cos o)jt, sin coi, cos 2coi/, sin 2aJ, cos naij, sin noij, ... (2.18)

e-2«, e-**, I, e", e", ... (2.19)

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом Т = = 2n/coi функции S (t).

Система функций (2.18) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (2.19) - к комплексной фюрме. Между этими двумя формами существует простая связь.



[0] [1] [2] [3] [4] [ 5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0028