Перейдем, как и в § 3.8, к новой переменной Q = со - сод. Тогда

г оо

2вь,х(0= -~ J S.4(Q)K[tK + )]ed е"".. (6.30)

- Оо

Из сопоставления этого выражения с (6.25) видно, что выражение, стоящее в фигурных скобках, соответствует комплексной огибающей выходного колебания

Кы (О - вых (О е"««= Sa (Щ к [1 (СОо -f Й)] е" dQ. (6.31)

- о„

Дальнейшее упрощение анализа вытекает из свойств передаточной функции резонансных цепей, обладающих сильно выраженной частотной избирательностью. Модуль передаточной функции К (гсо) быстро убывает при удалении со от резонансной частоты сОр. Поэтому передаточную функцию целесообразно выражать в виде функции разности ю - о>р.

Введем новое обозначение передаточной функции

K(Ko) = Ki [г(со-о)р)1. Подставив теперь о) = а>о -f Q, получим Ki [i (СОо -СОр + )] = Ki [1 (АЙ + Й)], (6.32)

где AQ = СОо - «р [см. (6.27)].

Так как при й = -«о коэ()фициент передачи Ki U (AQ -f Q)] практически равен нулю, нижний предел интеграла в выражении (6.31) можно заменить на -со. При этом выражение (6-31) принимает следующий вид:

Авь,х (О = j Sa (Q) Кг [i т + e dQ. (6.33)

- сю

Это выражение ничем не отличается от обычного интеграла Фурье, определяющего оригинал по заданной спектральной плотности огибающей S.4 (Q) и передаточной функции Ki U (AQ +

Заменив iQ на р, получим выражение в с}юрме обратного преобразования Лапласа

C + ioo

Аьых (0=5 J Sa (р) Кг [/AQ р] е" dp. (6.34)

с- ioo

Вычисления, связанные с определением Agux (О с}юрмуле (6.34), значительно проще, чем при непосредственном определении Obx (О с помощью обратного преобразования Лапласа, так как переход от (со) к Sa (Q) и от к (р) к Ki (tAQ + р) сокращает вдвое число особых точек подынтегральной функции. После определения Авх () можно составить выражение (6.25) для cZgix (О-

Применение описанного метода иллюстрируется в § 6.7.

2. временной подход Обратимся к общему выражению свертки (6.11) и перепишем его в форме

авых(0= j a(x)git-x)dx, (6.35)

- оо

где a(t) = A(i)cos[(Oot + Q(t)] = Re[A(t)е»»],

a g(0-G(0cosfcOp + Y(0] = Re[G(0eV] (6.36)

-импульсная характеристика фильтра с резонансной частотой сор. Подставив а (t) и g (t) в (6.35), получим

авых(0= J Aix)G{t-x)cos[iOoX + Q{x)]cos[(xipt-(x)pX + y{t -

- оо

-x)]dx= -i- J Л(x)G(/-x)cosi(©o-cOp)x + ©p/ + e(x)+v(/-

- oo oo

- x)]dx + - J Л(J;)G(/-x)cos[(coo+(йp)л:~cOp/ + e(x)-

-y(t-x)]dx. (6.37)

Вторым интегралом в (6.37) можно пренебречь по сравнению с первым из-за наличия быстропеременного множителя с частотой «о + ®р-Переходя к комплексной форме, получаем

авых(0«Не

-J е»» J А (х) ее() G (/-л:) evc-) е-*-) dx

где AQ - (Но - fflp.

Учитывая, что А (х) ев = А (х) и G (/ - х) ev е - д:) = G (/ - х) являются комплексными огибающими соответственно входного сигнала и импульсной характеристики фильтра, приходим к следующему выражению:

«вых (О » Re

J.e"v J A(x)G(/-x)e-2(-)tfx

(6.38)

Из этого выражения вытекает, что комплексная огибающая выходного сигнала приближенно определяется половиной свертки комплексной огибающей входного сигнала с комплексной огибающей импульсной характеристики цепи:

it)

J A(x)G(/-х)е-ла«-дг)х.

(6.39)

Множитель e-iii И-" учитывает расстройку центральной частоты спектра сигнала относительно резонансной частоты фильтра AQ = соц - - сор. При точной настройке

Авь,х(0~-у I A(x)G(/-x)dx.

(6.40)

6.7. ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНСНЫЙ УСИЛИТЕЛЬ

Имея в виду радиоимпульс с прямоугольной огибающей и немодулиро-ванным высокочастотны.м заполнением, рассмотрим сначала явления в цепи резонансного усилителя, показанной на рис. 5.13, при передаче фронта импульса, т. е. при включении в момент = О гармонической ЭДС е [f) = = £о cos (соо + 0о)- В качестве выходной величины примем напряжение на колебательном контуре усилителя.

Выведем выражение для колебания на выходе усилителя. Воспользуемся формулами (6.33), (6.34).

В данном случае огибающая А (t) имеет вид скачка (в момент t = 0), а с учето.м начальной фазы комплексная огибающая будет А {t) = Яоб", > 0. Спектральная плотность этой огибающей

S„(Q)-£oe» [яб (Q) -f l/iQ],

а преобразование Лапласа

5л(р) = £ое«/р. (6.41)

Передаточную функцию усилителя определим по формуле (5.65), в которой аргумент со - Шр приведем в соответствие с (6.32):

Ki[t(AQ + Q)]- -К,пах/[1 -г(АЙ+Р)т„] (6.42)

(Тк имеет тот же смысл, что и Тэк). Тогда

Ki ilAQ + р) = / [ 1 + (tAQ + р) Tj. (6.42)

Подставив (6.41) и (6.42) в (6.34), придем к следующему выражению для комплексной огибающей колебания на выходе усилителя:

c + i0o

Авых (О = с 8л (р) Ki [tAQ + р\ еР dp--Kmzx о е«» X

С~\- loo

е" dp

р[1 -(lAQ + p) т„]

(6.43)

Подынтегральная функция имеет два полюса

Рг = 0, P2=-(1+iAQt,)/t,.

Вычеты в этих полюсах легко вычисляются [см. (6.6)1:

1 -<е

1 = -7-77.--, Ф = arctg (AojTk),

res., = -

Тогда выражение (6.43) принимает вид (знак минус опущен)

Авь,х (О = - [е(е.-Ф) -е-/\ е<9о-Ф-даО], (6.44)

1/1 + (Д0т„)2