Сопоставление выражений (6.57) и (6.60) позволяет сделать вывод, что влияние цепи на выходное колебание заключается в запаздывании фазы сообщения на угол у, определяемый выражением

Y = arctg (<1/Шд), (6.61)

и в возникновении нечетных гармоник в законе изменения мгновенной частоты. Как отмечалось выше, наибольшее значение обычно имеет последнее обстоятельство.

Поясним применение метода мгновенной частоты на примере одиночного колебательного контура.

Подразумевая под К (/со) отношение комплексной амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде ЭДС, включенной последовательно в контур, получаем

1/(шС

К (/(О =--- •

/-[1+/ ((О-(Оо) т„]

Учитывая, что (о - (о„ = (Од cos Qt и пренебрегая изменением (о в числителе, так как (Од обычно мала по сравнению с <о„, можем записать

К(/(о) ~ :

Ф= -

г (1 + /(Од Тк cos Q/) V1 + ((Од Тк cos Qt)

-f arctg ((Од т„ cos Qt)

На основании соотношения (6.59) находим

d(f 0(0д Тк sin Q/

" dt ~ 1+0)2 tJcosQ/

Применяя (2.24), находим 2л

6 (О sin Qtd (Qt),

л .1

i(0sin3Q/d(Q/).

(6.62)

Произведя интегрирование (см. (2.553.3), (2.554.2) и (3.644.3) в [7]), получим следующие окончательные формулы для амплитуд первой и третьей гармоник функции lit):

Здесь т = й)д/.

2 (-К+о)°т ттк

(6.63)

Рис. 6.27. Зависимость коэффициента гармоник от девиации Ыд при заданной постоянной времени контура Тк

Рис. 6.28. Возникновение паразитной AM при модуляции частоты

Z V

Далее по формуле (6.61) находим фазовый сдвиг для сообщения

Y = arctg -= arctg

(]/1+0)x1-1)

(6.64)

Теперь нетрудно определить коэффициент гармоник по частоте 3Q на выходе частотного детектора. Для этого нужно разделить амплитуду <?з третьей гармоники функции I на амплитуду Шд основной частоты Q [см. (6.63)]:

(6.65)

График зависимости тКгз (ШдТк) изображен иа рис. 6.27. При ШдТк < 1 формулы (6.64) и (6.65) упрощаются:

у ~ йт„, Кгз ~ («д Xk)V4ot .

При (ОдТк -> 1 (но /и > 1), т. е. при девиации, почти равной полосе пропускания контура, формулы (6.64) и (6.65) дают

Y=0,8/m, Kr3 = 0,13/m.

Итак, в условиях, когда метод мгновенной частоты применим, предельные искажения в одиночном контуре не превышают долей процента.

Нетрудно найти изменения амплитуды выходного колебания. Для этого можно воспользоваться резонансной кривой контура и произвести построение, показанное на рис. 6.28. Видно, что основная частота изменения огибающей амплитуд U вдвое превышает частоту модуляции Q.

Глава 7. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ

СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

7.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Пусть на входе линейного четырехполюсника (рис. 7.1) с передаточной функцией К (гсо) и импульсной характеристикой g (t) действует случайный процесс S (/) с заданными статистическими характеристиками; требуется найти статистические характеристики процесса s,, (t) на выходе четырехполюсника.

В гл. 4 были рассмотрены основные характеристики случайного процесса: распределение вероятностей; корреляционная функция; спектральная плотность мощности.

Определение последних двух характеристик является наиболее простой задачей. Иначе обстоит дело с определением закона распределения случайного процесса на выходе линейной цепи. В общем случае при произвольном

распределении процесса на входе отыскание распределения на выходе инерционной цепи представляет собой весьма сложную задачу.

Лишь при нормальном распределении входного процесса задача упрощается, так Рис. 7.1. Линейный четырехпо- gj g, линейных операциях с люсник с постоянными пара- ,

метрами гауссовским процессом (усилении, срильтра-

s(t)

о о-

-о £f(t) о-

ции, дифференцировании, интегрировании и т. д.) распределение остается нормальным, изменяются лишь функции R(r) и W (со). Поэтому, если задана плотность вероятности входного процесса (с нулевым средним)

Р is) = ехр

У 2л as

ТО плотность вероятности на выходе линейной цепи

Дисперсия Dsux = <7вых легко определяется по спектру или по корреляционной функции. Таким образом, анализ передачи гауссовских процессов через линейные цепи по существу сводится к спектральному (или корреляционному) анализу.

Последующие четыре параграфа посвящены преобразованию только спектра и корреляционной функции случайного процесса. Это рассмотрение справедливо при любом законе распределения вероятностей. Вопрос же о преобразовании закона распределения при негауссовских входных процессах рассматривается в §7.6-7.7.

7.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ ЦЕПИ

Содержание данного параграфа ограничено рассмотрением стационарных случайных процессов.

Спектральную плотность входного процесса обозначим Ws (со). Задача нахождения () легко решается с помощью рассуждений, аналогич-

ных использованным при выводе выражения (4.31). Умножив спектральную плотность XkT (со) «усеченной» реализации процесса (t) на передаточную функцию фильтра К (гсо), получим спектральную плотность этой же реализации на выходе

*w()=*HK(M.

Энергию рассматриваемого отрезка реализации можно определить с помощью равенства Парсеваля

г/2 оо

-9*гвых= I xlTn.>At)dt=~ j lX,r(o))1K(ico)Pdo).

- г/2 -оо

Тогда по аналогии с выражением (4.34) получаем

в„х (со) = lim l-I = W, (со) К (со). (7.2)

Корреляционная функция случайного процесса на выходе фильтра определяется с помощью выражения (4.39):

со оо

Rs..b) = ~ ( l.Bb,x(c")e-"«doi=J- Г r,(co)r(co)e"dco. (7.3)

- оо - со

Соотношения между характеристиками случайных процессов на входе и выходе цепи можно вывести также и на основе заданной импульсной характеристики цепи.