Главная Цепи и сигналы [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [ 69 ] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] и среднеквадратическое напряжение шума ст„ = Ve/o/?„,/2C; во-вторых, нормированная корреляционная функция определяется выражением г„(т) -е~"«" coscOpT = e~"«coscOpT. (7.25) График функции г„ (т) показан на рис. 7.7. Интервал корреляции в рассматриваемом случае определяется ходом огибающей функции г„ (т), т. е. множителем е~™к в выражении (7.25). Пересчет напряжения шумов ко входу усилителя, как и для апериодического усилителя, можно сделать по формуле ик = JKy, в которой под Ку следует подразумевать коэффициент усиления на резонансной частоте. Напряжение шума, выделяемое на высокодобротном колебательном контуре, показано на рис. 4.17. Приведенные в § 4.6 характеристики узкополосного случайного процесса могут быть полностью отнесены к дробовому шуму в резонансном усилителе. Нужно иметь в виду, что изложенный в данном параграфе материал дает представление лишь о методе анализа характеристик собственных шумов, формируемых избирательной цепью усилителя. Механизм образования шумов зависит от ряда физических и конструктивных особенностей усилительных (активных) элементов, которые здесь не рассматриваются. В заключение укажем, что приведенные выше соотношения можно использовать также при анализе теплового шума в избирательных цепях. Необходимо лишь спектр такого шума определять по формуле, известной из физики, W„ (со) = 2kTR, (7.26) где -сопротивление резистора, генерирующего шум; fe = 1,38 X X 10-" Вт - с/град - постоянная Больцмана; Г - асболютная температура. Тепловой шум является белым шумом. Как и в выражении (7.12), (со) здесь определено для положительных и отрицательных частот. При отнесении мощности шума только к положительным частотам коэффициент 2 следует заменить на 4. 7.4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ Пусть задан стационарный эргодический случайный процесс s (t) со спектром Ws (со) и корреляционной функцией Rs (т); требуется найти аналогичные характеристики для производной s (t). Не останавливаясь здесь на рассмотрении всех условий дифференцируемости случайной функции, ограничимся основным требованием: энергетический спектр Ws (со) при ы оо должен убывать быстрее, чем 1/со, так что co2W,(co)cico<c5o. (7.27) - сю Это условие выполняется для большинства практических задач, так как спектр Ws (со) формируется физической цепью, передаточная функция которой при ы оо убывает быстрее, чем 1/со (а квадрат модуля уменьшается быстрее, чем 1/со). Условию (7.27) не отвечает белый шум с бесконечно широким спектром, однако обычно рассматривается шум с ограниченным спектром. Считая условие (7.27) выполненным, рассмотрим прохождение случайного сигнала s (i) через идеальную дфференцирующую цепь, передаточная функция которой К (tco) = IcoTo [см. (6.17)1. Применяя выражения (7.2), (7.3), можем написать вых и = К (ш) (ш) = т со Ws (ш), (7.28) .выхМ=-Го- j" шГДсо)е»Мш. (7.29) - оо Дисперсия процесса на выходе устройства ?..вь,х=вык= j fflr,(co)do3. (7.30) WsH-- Рассмотрим следующий пример. Пусть спектр процесса на входе дифференцирующего устройства равномерен в полосе частот -/i/A Wo при ] ш 1 2k/i = Acuj, О при ю1 >2nfi =Ami. Корреляционная функция подобного процесса [см. (4.41)1 i?,(T) = ro2i(sinAffliT/AffliT), а дисперсия Ds=al = Rs{0)Wo2h. (7.31) Нормированная корреляционная функция Га (т) = (sin Aa)iT)/AcOiT. (7.32) После дифференцирования получаем йвыхМ TotoWo и R,Buxb)=<Wo - f cos (отЛо = i" -ij(2 AcoiT cos Аш,т + я J я X + [(AffliT) -21 sin Ашт}. Домножив числитель и знаменатель на (Awi) и учитывая, что Го Ao)i= Го2л/1=яа„ приводим предыдущее выражение к виду «вых(т) =(A(OiTo)al «/(AffliT), (7.33) где у (A(Oi т) = (А©! т) ~ {2AmiT cos Acoi т + [(Acoj т)- 2] sin Ao)i т}. При т -> О получается неопределенность вида О/О. Применив правило Лопиталя, получим г/(0) = 1/3. Тогда ввых(0) = Овых-(Аш1То)(т (/(0)=aTUAcoi)V3. (7.33) Сопоставляя (7.33) с выражением (4.83), в котором Ашо следует заменить на Acoj, а Го(т) на гх), приходим к окончательному результату sBMx(O)- -alxlrliO). (7.34) В § 7.6 будет показано, что выражение (7.33) справедливо для производной любого стационарного случайного процесса (при К (tu))== t штд). графики функций Wg (m) и (со), а также функций (т) и г, вых i) изображены на рис. 7.8, а и б; параметр AwjTo = 1. Из рисунка видно, что дис{)ференцирование приводит к ослаблению нижних частот исходного процесса. Относительное возрастание высших частот приводит к более четко выраженной осцилляции корреляционной функции (см. рис. 7.8, б). Рассмотрим теперь прохождение того же случайного сигнала через реальное дифференцирующее устройство в виде /?С-цепи (см. рис. 6.7). Квадрат передаточной функции дифференцирующей цепи в соответствии с (6.19) Таким образом, энергетический спектр на выходе цепи WM (ДС01Т0)2(С0/ДС0.) sBHxV / ii 1+(Дсо1Т„)2(со/Дсо,)2 > график W, вых (*) ДЛЯ A«iTo = 1 представлен на рис. 7.8, а штриховой линией. Корреляционная функция авых(т)=Т J со" COS сот 1 + coHg d(0, :(0)- xlW, - f -П J 1 + cotg dm = Результат (т) = Rs [Acoj To-arctg(AmiTo)]. (7.36) вычисления (T)/a, нией (для AcojTq = 1). нормированной корреляционной функции вых представлен на рис. 7.8, б штриховой ли- Рис. 7.8. Спектры (а) и нормированные корреляционные функции (б) на входе.и выходе дифференцирующей цепи: --- на выходе идеальной цепи; ---на выходе ЛС-цепи [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [ 69 ] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] 0.0016 |