Воспользуемся сначала ортогональной системой (2.19). Тогда ряд Фурье должен быть записан в форме

S (О =... с 2 е - 2«, (4- с , е - " + Со -f Ci е"- -f Сг е 2<». -f ... = = 2 „е""-. (2.20)

Совокупность коэффициентов с„ ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называется частотным спектром периодического сигнала. Коэффициенты ряда (2.20) с„ легко определяются с помощью формул, приведенных в предыдущем параграфе.

Из формулы (2.6) следует, что

ф„(/)р= J е"".е-Л = Т. (2.21)

-7/2

Таким образом, независимо от п норма ф,Л = УТ. Используя формулу (2.9), получаем

1 "с

- S (О е-(2.22) J

- г/2

В выражениях (2.21) и (2.22) учтено, что функции е"* соответствует комплексно-сопряженная функция е-"<**.

Коэффициенты с„ в общем случае являются комплексными величинами. Подставив в (2.22) е-"»= cos ncoj-г sin ncoj, получим

r/2 Г/2

= Y j s(Ocosnco,/rf/-i г s(0sinrtco,W/c„,-fc„,.(2.23)

-r/2 -r/2

Косинусная (действительная) и синусная (мнимая) части коэффициента с„ определяются формулами

7/2 г/2

1* s(i) COS noiitdt, с„,=-у I s(0sinn(Oi/uf?. (2.24)

- r/2 r/2

Коэффициенты c„ часто бывает удобно записывать в форме

с„\Сг,\е\ (2.25)

где

\Сп\= KI+s, в„ = -arctg . (2.26), (2.27)

Модуль с„! является функцией, четной относительно п, а аргумент 6„ нечетной (последнее вытекает непосредственно из выражений (2.24), показывающих, что Сщ. является четной, а c„s нечетной функциями л).

Общее выражение (2.20) можно привести к виду

5(0- 2 \ce"+r,) (2.28)

П= - оо

Теперь нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда (2.28) пару слагаемых, соответствующую какому-либо заданному значению п, например \п\ - 2, и, учтя соотношения 9 2 = -Эз, с г = 121, получим для суммы этих слагаемых

1с а1е"~+-2-н]сг\е<2«.+е.) = с2Це-<2«1(+в,).е<2<».+е«)] = = 2lc2lcos(2o),/-f бз). (2.29)

Отсюда видно, что при переходе к тригонометрической форме ряд (2.28) необходимо записать следующим образом:

s(t)=c,+ 2 21c„\cos(rtcoi; + 9„).

(2.30)

Смысл удвоения коэффициентов Фурье б-„ в тригонометрическом ряду при п > 1 становится ясным из рассмотрения векторной диаграммы (рис. 2.1), соответствующей (2.29) при п = 2. Вещественная функция 2 с„ cos (псй,М- 0„) получается как сумма проекций на горизонтальную ось ОВ двух векторов длиной с„, вращающихся с угловой частотой \п\ со, во взаимно противоположных направлениях. Вектор, вращающийся против часовой стрелки, соответствует положительной частоте, а вектор, вращающийся по часовой стрелке, - отрицательной. После перехода к тригонометрической форме понятие «отрицательная частота» теряет смысл. Коэффициент Со не удваивается, так как в спектре периодического сигнала составляющая с нулевой частотой не имеет «дублера».

Вместо выражения (2.30) в математической и радиотехнической литературе часто встречается следующая форма записи:

s(/) = -4- 2 (a,iCasrtcoi/+6„sin/icoiO = -у т 1] y4„cos(rtcoi/4-

т9„), (2.31)

причем 0„ = - arctg(6„/a„).

Из сопоставления выражений (2.31) и (2.30) видно, что амплитуда п-й гармоники Л„ связана с коэффициентом с„ ряда (2.28) соотношением

Таким образом, для всех положительных значений п (включая и п 0)

т/2 Г/,2

j S (t) COS пщ tdt, b,,--у J s (О sin mo,/d/. (2.32)

a„ = - \ s (t) cos Aicoi

-r/2

-T/2

Рис. 2.1. Представление гармонического колебания в виде двух комплексных составляющих: с положительной и отрицательной частотами

Если сигнал представляет собой функцию, четную относительно t, т. е. s (t) = = s (-t), в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициенты 6„ в соответствии с формулой (2.32) обращаются в нуль. Для нечетной относительно t функции s (t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты а„ и ряд состоит только из синусоидальных членов.

Две характеристики - амплитудная и фазовая, т. е. модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания. Наглядное представление о «ширине» спектра дает графическое изображение спектра амплитуд. В качестве примера на рис. 2.2, а построен спектр коэффициентов а на рис. 2.2, б - спектр амплитуд /1„ == 2 с„ для одного и того же периодического колебания. Для исчерпываю-

0-,-т

T c„ I -Г I I

T An I T I I

0 I 2«y nUf Ы

-\П\Ы -(if Of

0 l&f ridf

Рис. 2.2. Коэффициенты комплексного (a) и тригонометрического (б) рядов Фурье периодической функции времени

щей характеристики спектра подобные построения должны быть дополнены заданием начальных фаз отдельных гармоник.

Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам О, coi, co. = 2со,, cog = Зсо, и т. д.

Использование для гармонического анализа сложных периодических колебаний рядов Фурье в сочетании с принципом наложения представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных цепей на прохождение сигналов. Следует, правда, отметить, что определение сигнала на выходе цепи по сумме гармоник с заданными амплитудами и фазами является непростой задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда Фурье, представляющего входной сигнал. Наиболее распространенные в радиотехнике сигналы не соответствуют этому условию, и для удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно Необходимо суммировать большое число гармоник.

2.4. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Рассмотрим несколько примеров периодических колебаний, часто используемых в различных радиотехнических устройствах.

1. ПРЯМОУГОЛЬНОЕ КОЛЕБАНИЕ (РИС. 2.3)

Подобное колебание, часто называемое м е а н д р о м, находит особенно широкое применение в измерительной технике.

При выборе начала отсчета времени в соответствии с рис. 2.3, а функция является нечетной, а рис. 2.3, б - четной. Применяя формулы (2.24), находим для нечетной функции (рис. 2.3, а) при s{t)~ е{1): г о

(- l)sinrtWi tdi -\-

1---ГГ2 TI2

+ sin пщ tdi

I ПО), Т \

1 -COS---

Гло), \ 2

Меандр - греческое слово, обозначающее «орнамент».

Рис. 2.3. Периодическое колебание прямоугольной формы (ме андр)