Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [ 70 ] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

Можно считать, что при Ащхд < 1 физическая RC-тпь осуществляет дифференцирование рассматриваемого случайного процесса, близкое к точному дифференцированию.

7.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

Для выявления некоторых особенностей интегрирования случайной функции рассмотрим сначала прохождение стационарного случайного процесса через физическую интегрирующую /?С-цепь (см. рис. 6.8).

Пусть на входе этой цепи начиная с момента t = -оо действует случайная функция S (t) со спектром (m) и корреляционной функцией (ы). Считая процесс на выходе установившимся, можно определить Wg gix " вых (т) с помощью выражений (7.2) и (7.3), подставив в них Гсм. (6.20)1

(oj) = 1/[1 4 ((ото)1. Таким образом,

вых (ffl) = К (со) Г, (со) = (со)/(1 +о)Ч„), (7.37)

f? (-г\- L- г (м) cos сот , „

Рассмотрим два частных случая: s (/) = О и s (/) 0. В первом случае спектр Ws (со) не содержит слагаемого с б-функцией [см. (4.35)-(4.37)1;

полагая W (со) - W const (белый шум), получаем корреляционную функцию

вых (т) f Ао = е-и (7.39)

И дисперсию

ав\,х = /п,/2тп=Го/2;?С. (7.40)

Во втором случае (при s [t) ф 0), когда в соответствии с (4.35) спектр W, (со) =[sF)P 2яб (со) -V W (со),

причем (со) = Wo = const (как и в предыдущем случае), корреляционная функция и дисперсия будут

?.sB..x(t) = ls(/)H2nJ- j б(а>) dco

cos МТ

(со) cos сот 2..Jje-x/r., (7.41)

2я J l+tto 2т„

- оо

Ов-ых =Г„/2то = Гп/2/?С. (7.42)

Из приведенных соотношений видно, что в установившемся режиме процесс на выходе физической интегрирующей цепи является стационарным, как и на входе.



Иначе обстоит дело при точном математическом интегрировании, которому соответствует нереализуемая передаточная функция

К (rw) = I/coT,, IcM. (6.18)1.

Условие интегрируемости случайного процесса при этом принимает следующий вид:

-d(o<oo. (7.43)

Если условие дифференцируемости случайной функции (7.27) накладывало требование достаточно быстрого убывания Ws (ш) при ш оо, то при интегрировании аналогичное требование относится к поведению Ws ((о) при m -V 0.

Интегрирование стационарного процесса s (t) с Wg (0) Ф О приводит к нестационарному процессу с неограниченно возрастающей дисперсией.

Если S {t) Ф О, то математическое ожидание процесса на выходе также неограниченно возрастает.

Следует иметь в виду, что идеальное интегрирующее устройство можно рассматривать как фильтр с бесконечно малой полосой пропускания. Процесс установления в таком фильтре длится бесконечно долго. Поэтому статистические характеристики интеграла случайного процесса существенно зависят от пределов, т. е. от длительности интегрирования.

7.6. ПАРАМЕТРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Как отмечалось в § 7.1, при негауссовском случайном процессе на входе отыскание закона распределения на выходе инерционной цепи является сложной задачей, не имеющей прямого решения. Существуют лишь приближенные методы решения, связанные с большими вычислительными трудностями.

Один из таких методов основан на использовании характеристических функций случайного процесса и известных соотношений между харак1еристической функцией и моментами распределения процесса.

В теории вероятностей под характеристической функцией 9,. (т)) случайной величины X или характеристической функцией данного распределения р [х] подразумевается среднее значение функции el, т. е.

е,,(11) = /М (el-) (7.44)

(здесь т) - вещественная переменная).

При заданной плотности вероятности р {х) среднее значение величины е"!- можно определить с помощью выражения

9,v<4)- \ e"-*/;(.r)d.r. (7.45)

- V

Правая часть этого выражения есть не что иное, как преобразование Фурье функции /; (.v). Следовательно, если известна характеристическая



функция в (Г]) какой-либо случайной величины х, то плотность вероятности р (х) можно найти с помощью обратного по отношению к (7.45) преобразования Фурье

PW\ j В,(П)е-"-Л. (7.46)

В частности, для нормального закона распределения

/W=--p-ехр

У2л о, \ il I характеристическая функция в соответствии с (7.45)

- оо

с помощью преобразований, аналогичных (2.75) и (2.77), получаем

e.(Ti) = exp(-ajTiV2). (7.47)

Таки.м образом, при нормальном распределении график характеристической функции относительно х\ имеет такую же форму, как и график плотности вероятности относительно х. Поэтому о степени приближения распределения какой-либо случайной величины к нормальному можно судить по тому, насколько характеристическая функция рассматриваемой величины приближается к функции, определяемойвыражением (7.47).

Характеристическая функция бд. (т]) полностью определяется моментами случайного процесса и может быть представлена рядом

е.х(1) = 1 + V(n)\ (7.48) *= о

где моменты -го порядка определяются 1см. (4.3) для k- \\ выражением

I x>p(x)dx. (7.49)

Знание моментов распределения позволяет найти характеристическую функцию 9, (т]), а по ней и функцию распределения.

Вычисление по формуле (7.48) оказывается неприемлемо сложным для практики. Обычно довольствуются решением более простой задачи о преобразовании лишь нескольких моментных функций в линейной системе, которые дают косвенное представление об одномерной плотности вероятности случайного процесса на выходе. Поясним это на примере простого линейного преобразования - дифференцирования случайного процесса х (t). Найдем

В общем случае, когда среднее значение случайной величины не равно нулю и

Р (а) = --Щ- ехр

I 2л Ov характеристическая функция

л- (т)) = ехр iixT] -а,г ц-/2) (см., например. [13]).

2!.5



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [ 70 ] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0012