±

-a -•4(a -2<Of 0 la ы -7ы -5ы -ды -ы (Hf Z(uf 5u)f 7ы О)

о Z6)f «(У So ojf 7cOf

Рис. 2.4. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) ряда Фурье колебания, показанного на рис. 2.3

Учитывая, что Та = 2я, получаем

(1 -cos пя)=;

при п =0, 2, 4,

[гя/пл при rt = 1, 3, 5,...

Начальные фазы 9„ в соответствии с (2.27) равны -я/2 для всех гармоник.

Запишем ряд Фурье в тригонометрической форме

n=I,3,5,...

-sin 5coi/ + ...

ncoit---

(sin coi H-sin 3(Bi t +

Я \ 3

(2.33)

Спектр коэффициентов c„ комплексного ряда Фурье показан на рис. 2.4, а, а тригонометрического ряда - на рис. 2.4,6 (при £= I).

При отсчете времени от середины импульса (рис. 2.3, б) функция является четной относительно t и для нее

е(/)= -/cos со, t--;cos3coi4-!-cos бо),/-

л \ 3 Ь )

(2.34)

Рис. 2.5. Суммирование 1-й и 3-й гармоник (а), 1, 3 и 5-й гармоник (б), 1, 3, 5 и 7-й гармоник (в) колебания, показанного на рнс. 2.3

Графики 1-й (а = 1) и 3-й (п = 3) гармоник и их суммы изображены на рис. 2.5, а. На рис. 2.5, б эта сумма дополнена 5-й гармоникой, а на рис. 2.5,6 - 7-й.

С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда приближается к функции е (t) всюду, кроме точек разрыва функции, где образуется выброс. При п ->> оо величина этого выброса равна \,18Е, т. е. сумма ряда отличается от заданной функции на 18%. Этот дефект сходимости в математике получил название явления Гиб-б с а. Несмотря на то, что в

Рис. 2.6. Периодическое колебание пилообразной формы

Рис. 2.7. Сумма первых пяти гармоник колебания, показанного на рнс. 2.6

рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции е (t) в точках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку при п -> оо выбросы являются бесконечно узкими и не вносят никакого вклада в интеграл (2.13).

2. ПИЛООБРАЗНОЕ КОЛЕБАНИЕ (РИС. 2.6)

С подобными функциями часто приходится иметь дело в устройствах для развертки изображения в осциллографах. Так как эта функция является нечетной, ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены. С помощью формул (2.24)-(2.31) нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье. Опуская эти выкладки, напишем окончательное выражение для ряда

e(t) = sinoji /--sin 2coi гН--sin Scoj

Л \ 2 3

--sin 4o)i / -f ...

(2.35)

Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону \/п, где /г = 1, 2, 3, ... На рис. 2.7 показан график суммы первых пяти гармоник (в увеличенном масштабе).

3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ (РИС. 2.8)

Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид:

е(0= -

cos ti)it+- cos 3coi t-\--cos 5coi t + ...

(2.36)

Рис. 2.8. Сумма трех первых гармоник периодической функции

Рис. 2.9. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов с большой скважностью

На рис. 2.8 изображена сумма первых трех членов этого ряда. В данном случае отметим более быстрое убывание амплитуд гармоник, чем в предыдущих примерах. Это объясняется отсутствием разрывов (скачков) в функции.

4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ (РИС. 2.9)

применяя формулу (2.32), находим среднее значение (постоянную составляющую)

1 г и\А* и V (2.37)

- т./2

и коэффициент п-й гармоники

а„- - \ e(t) cos rtw, tat - - sin -i-

T J nn 2

(2.38)

Так как функция e (t) четная, fe„ = О и A„ = a„. Таким образом.

e{t)E -V J-sin i cos mo,/ T л . n 2

(2.39)

Величина N = Т/т„ называется скважностью импульсной последовательности. При больших значениях N спектр сигнала содержит очень большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник (рис. 2.10). Расстояние между спектральными линиями очень .мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине. Это наглядно вытекает из формулы (2.38), которую в данном случае удобно представить в несколько измененном виде

sin «л

f1llliwrmr>.,<r

Рис. 2.10. Спектр импульсной последовательности., пока.чанной на рис. 2.9