Pb>i - - /2 *2 «1 £1cos фг, P u), = - V2 2 «2 £1 Eg cos фг,

(8.102)

PcoO = Vi «0 £1 £2 £0 COS фг.

В ЭТИХ выражениях ф - аргумент комплексного сопротивления 2 (/«г). При малых расстройках контура cos ф близок е единице.

Смысл отрицательных мощностей Рг и Рг заключается в том, что соответствующие источники на частотах ан (оне отдают, а потребляют энергию. Положительное же значение Рио указывает на то, что источник во (t) отдает энергию во внешнюю цепь.

Суммарная мощность, выделяемая в нелинейном реактивном элементе,

Рт + Рт-+ Ри>2 = Va &2 («о-«i- 2) £1 £3 £0 COS ф О, (8.103)

поскольку (Оо - «1 + <J>2 Этот результат находится в полном соответствии с принятым допущением отсутствия потерь в емкости.

Итак, в цепи, содержащей энергоемкий нелинейный элемент, возможна перекачка энергии от одного генератора к другому. Это указывает на возможность осуществления пребразования частоты сигнала одновременно с «накачкой» энергией от вспомогательного генератора.

Из выражений (8.102) вытекают следующие пропорции:

(01 (1)2 (ЛО

(8.104)

8.17. ТЕОРЕМА МЭНЛИ-РОУ

Важные соотношения (8.104), выведенные для квадратичной вольт-кулонной характеристики, можно распространить и на более сильную нелинейность, когда в спектре тока, протекающего через нелинейную емкость С„д, существует большее число составляющих с частотами вида (о „ = = m(Oi -f rt(Oo (тип - целые числа, которые в отличие от § 8.4 могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. При этом сохраняется условие т -f \п\ k, где k - степень полинома, аппроксимирующего нелинейную характеристику).

Известна теорема Мэнли-Роу, устанавливающая энергетические соотношения в спектре колебания в цепи, содержащей реактивную нелинейность (емкость или индуктивность) при произвольном порядке нелинейности и произвольном числе генераторов.

Модель цепи, используемая при выводе теоремы Мэнли-Роу, представлена на рис. 8.50, б (для двух генераторов). Число параллельных ветвей равно числу составляющих в спектре тока, протекающего через Снд. Каждая ветвь содержит идеальный фильтр, пропускающий только колебание с соответствующей частотой. Идеальный фильтр можно представлять в виде последовательного соединения элементов L и С, отвечающих условию МУ LC = - тщ + л(Оо. «Пустые» ветви, не содержащие сопротивлений Z, замыкают накоротко внешнюю цепь конденсатора С„д для токов соответствующей частоты. Таким образом, на Снд воздействуют помимо напряжений генераторов только напряжения, создаваемые токами комбинационных частот в соответствующих нагруженных ветвях.

Замечаем, что при включении Z только в одну ветвь, соответствующую частоте - щ = (Oj (при m = -1, /г = 1), получается модель цепи, эквивалентная ранее рассмотренной последовательной схеме с двумя генераторами и одним сопротивлением Z2 (/(Oj) (см. рис. 8.50, а).

Прежде чем давать общую формулировку теоремы, выведем уравнения Мэнли-Роу для случая, когда нагружена всего лишь одна ветвь, содержащая фильтр, пропускающий частоту /„ = тД + nfo-

Основываясь на законе сохранения энергии, исходим из условия, что сумма средних мощностей, поступающих в элемент Сщ, и отбираемых от него, равна нулю (конденсатор Снд свободен от потерь):

Po+Pi + Pm,n=0- (8.105)

Приведенное ранее выражение (8.103) иллюстрирует это равенство. Выразим мощности Рд, Я, и Р,„ через энергию, выделяемую за один период соответственно То, и Тп,,,:

Po-=3gfg, P, = r=3Ji и Л,„„=:2ь:1 = Э„,„(тА + п/о).

о i т.п.

Тогда равенство (8.105) можно записать в форме

Зд /о + 5i /i -f ,„ (mfi + nfo) -fi (3, + m3J + /о (o + пЭ.п) 0-

Поскольку частоты Д и fg могут принимать любые значения, то это равенство возможно, только если каждое слагаемое равно нулю по отдельности:

Эх+тЭ,, 0, Эо-Ь/гЭ„,,„ =0.

Переходя от энергии к мощности, получаем

"m,n m /I Q

Ро т, п Ро I Рщ.ч Q

/о mfj+nfg Ыд тшу + тоц

В общем случае при произвольном числе нагруженных ветвей приведенные уравнения должны быть просуммированы по всем возможным при заданной нелинейности значениям тип, что приводит к общей формулировке теоремы Мэнли-Роу:

тРт.а , -Л -V ПР

-О, У V -=0, (8.106)

ш=Оп=-00 п=Оггг--ос

где (Oi и СОо - частоты генераторов, возбуждающих систему; Рп - мощность колебания частоты mcoi + пшд; целые числа тип определяют порядок комбинационного колебания.

Выражения (8.106) можно распространить на любые реактивности - емкостные и индуктивные - при условии отсутствия гистерезиса.

При рассмотрении систем с нелинейностью второго порядка вычисление сумм в (8.106) не связано с какими-либо трудностями.

Поясним применение выражений (8.106) на примере рассмотренной ранее цепк (см. рис. 8.50, а), возбуждаемой двумя генераторами на частотах (Oi и cofl. Кроме этих частот на пассивном элементе (coj) создается одно комбинационное колебание с резонасной частотой coj = оп - <»i-

В соответствии с обозначениями выражений (8.106) частоту coj следует рассматривать как значение знаменателя mcoj -+- псоо при m = 1 и п = О, а мощность на этой частоте Р.,,, = Pi д. Частоте сОд соответствуют индексы суммирования m = О, п = I и мощность Ро>„ = o,i- Наконец, частоте 0)., = «о ~ СО, соответствуют индексы /п = - I, п - 1 и .мощность Р, =

Ро)о-<1, - Р -1.1-

Тогда внутреняя сумма в первом равенстве (8.106) дает

v "Рт.п тРт.-1 , тР„

п= -1

mPm,-i m.o mPm.i mcOi-СОо mu),--o)e

Суммируя полученное выражение по т, получаем первое равенство (8.106)

ьо Pi,-t Р 1,0 о

(Слагаемые, содержащие Ро,о и Р отброшены.) Таким образом,

Pc«. a.,/[-(cOo-(Oi)H-Pa,/0)i = О

Аналогичным образом второе равенство в (8.106) дает

Р(0,/С02= - Р(„„/СОо.

Итак, получаем пропорции

совпадающие с выражением (8.104).

Из проведенного анализа видно, что с помощью нелинейной емкости можно осуществить преобразование спектра, сопровождающееся перекачкой энергии из одного источника в другой. Так, если coj - частота принимаемого сигнала, а «о - частота гетеродина, то можно выделить комбинационную частоту (Oj = <J>o - <J>i с одновременным усилением мощности колебания на этой частоте. Напомним, что при использовании резистивного нелинейного элемента преобразование частоты сигнала (см. §8.11) не сопровождается перекачкой энергии от гетеродина.

Приведенные выше соотношения будут использованы в § 10.7 при анализе работы параметрического усилителя.

8.18. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПО ЗАДАННОМУ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ

В предыдущих параграфах настоящей главы изучалось воздействие сигналов на нелинейные элементы - безынерционные или энергоемкие - с последующим выделением полезных спектральных составляющих с помощью избирательной линейной цепи (см. функциональные схемы на рис. 8.13 и 8.14). В ряде задач желательно проведение прямого анализа, основанного на интегрировании уравнения цепи, содержащей нелинейный элемент.

Математическое уравнение, описывающее систему, моделируется на ЭВМ - аналоговой или цифровой. Сначала строится аналоговая структурная схема моделирования. Дискретизацией сигнала и дифференциального