При малых значениях п можно считать

A„11JE. (2.40)

пп Т Т

Постоянная составляющая, равная aJ2 - ExJT, вдвое меньше амплитуды 1-й гармоники. При построении спектра коэффициентов \с„\ величина г„ приближенно равнялась бы

2.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В СПЕКТРЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА

Пусть сигнал s (t) (ток, напряжение) представляет собой сложную периодическую функцию времени с периодом Т.

Энергия такого сигнала, длящегося от / = -оо до t ~ оо, бесконечно велика. Основной интерес представляют средняя мощность периодического сигнала и распределение этой мощности между отдельными гармониками. Очевидно, что средняя мощность сигнала, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, средней за один период Т. Поэтому можно восгюльзоваться формулой (2.17), в которой под коэффициентами г„ следует подразумевать коэффициенты ряда (2.20), под интервалом ортогональности

to- - величину периода Т, а под нормой („ - величину YT 1см. (2.21)1.

Таким образом, средняя мощность периодического сигнала

s4t)jr У. \CnYT V \с„\-\ (2.41,

/I = - оо « = - тс

Используя тригонометрическую форму ряда Фурье и учитывая, что с„ = о„ 2 и г„ = /1„2, получаем

.?Т7) = f f - )% 2 V ±L ) = [ f 4- А- f Al. (2.42)

, . - , , 2 2

Если s {t) представляет собой ток / (t), то при прохождении его через сопротивление г выделяется мощность (средняя)

Prmt)r[Il 1\2 + /2+ ...).

где /ц = Go 2 - постоянная составляющая, а /„ = /!„ - амплитуда п-й гар.моники тока / (t).

Итак, полная средняя мощность равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно постоянной составляющей /ц и гармониками с амплитудами /,, /2, ... Это означает, что средняя мощность не зависит от фаз отдельных гармоник. Это вытекает из ортогональности спектральных составляющих, в данном случае на интервале Т.

2.6. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Изложенный в § 2.3 гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. Пусть такой сигнал S {t) задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке (/,. У (рис. 2.11).

Выделив произвольный отрезок времени Г, включающий в себя промежуток (tl, t-i), мы можем представить заданный сигнал в виде ряда Фурье

5(0= 2 <1<Т, (2.43)

/I в - оо

где (Oi = 2я/Г, а коэффициенты с,, в соответствии с формулой (2.22)

- I s(Oe-»"d/. (2.44)

Подставив (2.44) в (2.43). 1юлучим

s(0 = И I 5(х)е-"л;

0</<.Г.

(2.45)

Здесь учтено, что Г = 2n/cui.

Вне отрезка (О, Т) ряд (2.43) определяет функцию s (/) = s (/ ± kT), где /г - целое число, т. е. периодическую функцию, полученную повторением S {t) вправо и влево с периодом Т. Для того чтобы вне отрезка (О, Т) функция равнялась нулю, величина Т должна быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок Т, выбранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты с„. Устремляя Т к бесконечности, в пределе получае.м бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию s (t), заданную в интервале ti<i t<i 4 (см. рис. 2.П). Число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, так как при Г -> оо основная частота функции coj = 2л/Г ->.0. Иными словами, расстояние между спектральными линиями (см. рнс. 2.2), равное основной частоте Wi, становится бесконечно малым, а спектр - сплошным. .

Поэтому в выражении (2.45) можно заменить а», на rfw, пси, на текущую частоту со, а операцию суммирования операцией интегрирования.

Таким образом, приходим к двойному интегралу Фурье

dco.

(2.46)

Внутренний интеграл, S(oj)=: I s(/)e-<"6f/.

являющийся функцией со.

(2.47)

называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции s (t).

В общем случае, когда пределы ti и t., не уточнены, спектральная плотность записывается в ({юрме

S((o)= г 5(0-"". (2.48)

-Г Oti t. т

Рнс. 2.11. Одиночный импульс

После подстановки (2.48) в выражение (2.46) получаем

sit) - X { S (сй) е""dco, (2.49) 2п J

Выражения (2.48) и (2.49) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Выражение (2.48)отличается от (2.22) только отсутствием множителя МТ. Следовательно, спектральная плотность S (со) обладает всеми основными свойствами коэффициентов с„ комплексного ряда Фурье. По аналогии с (2.23) и (2.25) можно написать

S (со) = Л (со) -IB (со) = S (со) ев((о) (2.50)

Л(со)= j s(t) cos atdt, В{а)= s{t) sin atdt. (2.51)

- oo -oo

Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выражения-

5(со) = )/И(со)Р + [5(о))Р, (2.52)

0 (со) = -arctg [В {(О)/А (со)]. (2.53)

Первое из этих выражений Кюжно рассматривать как амплитудно-частотную (АЧХ), а второе - как фазо-частотную характеристики (ФЧХ) сплошного спектра непериодического сигнала S (t).

Как и в случае ряда Фурье, S (со) является четной, а 6 (со) - нечетной функцией частоты со.

На основании формулы (2.50) нетрудно привести интегральное преобразование (2.49) к тригонометрической (}юрме. Имеем (аргумент функции б (со) в последующих выражениях опущен];

оо оо

г S((o)e(«+e)do) - Г S((o)cosH + 9)da) + 2я J 2я J

- оо -оо

-f t- J 5(co)sin(co-f 9)dco.

- oo

Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подынтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором - нечетной относительно со. Следовательно, второй интеграл равен нулю и окончательно

оо оо

s(t)-L. г S(co)cos(co/-f e)dco = - г 5(co)cos(co/-f 9)d . (2.54) 2ft J n J

- oo 0

Переход от комплексной формы (2.49) к тригонометрической (2.54) обычно целесообразен в конце анализа; все промежуточные выкладки при применении интеграла Фурье удобнее и проще производить на основании комплексной формы (2.49).

Отметим, что при со = О выражение (2.47) переходит в следующее:

S(0)= j {t)dt = площгпь под кривой s(t). (2.55)

- оо

Следовательно, для любого сигнала s (t) спектральная плотность S (со) на нулевой частоте равна «площади сигнала». Это правило полезно для быстрого выявления структуры спектра некоторых сигналов. Примеры применения этого правила приводятся в §2.10.