Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [ 94 ] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

Рис. 9.17. Процесс установления колебания в автогенераторе

j « 8 \ky\i

Рис. 9.18. Нарастание огибающей автоколебания при различных начальных условиях

где f/ак (0) и Вц - начальные амплитуда и фаза напряжения на контуре, зависящие от условий запуска автогенератора.

Как правило, Ист/ак (0) ! 1. Поэтому при малых значениях а знаменатель

t/ан (0)

И выражение (9.42) принимает вид

«аи (О ~ taK (0) е1"энИ cos {щ t + Од),

(9.43)

совпадающий с видом выражения (9.10), выведенного для линейного режима (при малых амплитудах).

При t-oo (стационарный режим) выражение (9.42) переходит в

; (О = taK СТ cos

(9.44)

Ограничение амплитуд, обусловленное введением кубического члена в аппроксимацию вольт-амперной характеристики (9.33), иллюстрируется рис. 9.17.

Характер изменения огибающей f/ак (О/ак ст при нескольких значениях параметра п = [/акстак (0) показан на рис. 9.18.

Из выражения (9.42) и рис. 9.18 видно, что время установления стационарной амплитуды существенно зависит от начальной амплитуды, т. е. от начальных условий запуска. Это имеет важное значение для генераторов, работающих в импульсном режиме. ,

В заключение отметим, что для удовлетво)ительного описания процесса установления колебаний при жестком режиме самовозбуждения требуется использование полинома (8.8) с учетом по крайней мере еще и пятой степени.

9.7. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Под фазовой плоскостью подразумевается плоскость, каждая точка которой однозначно определяет состояние (фазу) системы. Так как плоскость обладает двумя измерениями, то ясно, что метод фазовой плоскости применим к анализу систем, описываемых дифференциальным уравнением второго порядка. Состояние механической системы полностью определяется заданием



координаты (перемещение) и скорости движения. Для электрической системы должны быть заданы две аналогичные переменные, например заряд емкости (или напряжение) и ток. Основным достоинством метода фазовой плоскости является пригодность его для анализа как линейных, так и нелинейных систем. Некоторые важные свойства нелинейных систем, которые невозможно или затруднительно исследовать аналитически, поддаются истолкованию и качественному исследованию с помощью графоаналитического построения на фазовой плоскости.

Суть этого метода проще всего объяснить на примере линейной системы (обычного колебательного контура), описываемой уравнением

x + 2ax-\-wbx0, (9.45)

в которой под X можно подразумевать, например, заряд конденсатора.

Уравнение (9.45) может быть записано в виде системы двух уравнений первого порядка

х=у, х = - = -(2ау + аЬх). (9.46)

at at

Таким образом, если х -- заряд то у - ток в контуре. Разделив второе из этих уравнений на первое, получим уравнение не содержащее в явной форме время t:

dy 2ai/ + (og x (9.47)

dx у

Входящие в уравнение (9.47) две переменные х и у ~ х можно рассматривать как координаты изображаюьцей (или представляю1цей) точки на плоскости X, у. Тогда уравнение (9.47) является дифференциальны.м уравнением движения изображающей точки на фазовой плоскости х, у. Если найти решение уравнения (9.47) у f (х, А), где А - произвольная постоянная, определяемая начальными условиями Xq, у о, то получим семейство кривых, являющихся интегральными по отношению к исходному уравнению (9.45). Функцию у = f (л;, Л) иногда называют первым интегралом уравнения (9.45), так как у ~ х.

На фазовой плоскости решение у - f (х. А) образует семейство фазовых траекторий изображающей точки, соответствующих различным фиксированным значениям А, т. е. различным начальным условиям Хо, Уо. Так как при заданных начальных условиях уравнение (9.45), и соответственно (9.47) имеют единственное решение, то каждой паре координат х, у отвечает одна, и только одна, интегральная кривая. Иными словами, вся фазовая плоскость покрыта семейством непересекающихся интегральных кривых (фазовых траекторий). Исключение из этого правила составляют точки, соответствующие состоянию равновесия системы - устойчивого или неустойчивого. В случае линейного уравнения фазовая траектория легко определяется с помощью уравнения типа (9.47). В более сложном случае нелинейного уравнения это построение выполняется с помощью метода изоклин. Термин «изоклина» эквивалентен понятию «кривая равного наклона». Изоклина представляет собой геометрическое место точек фазовой плоскости, в которых фазовые траектории имеют касательные с заданным (фиксированным) угловым коэффициентом k.

В частности, в уравнении (9.47) левая часть есть угловой коэффициент k. Приравнивая эту часть заданному значению k, получаем

й = -(2а + 0)5 л:) /,



откуда приходим к следующему уравнению изоклин:

У~-х. (9.48)

При постоянных значениях k это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через начало координат.

Можно отметить следующие свойства фазовых траекторий:

а) в верхней полуплоскости (у > 0) изображающая точка движется только вправо, а в нижней - только влево. Действительно, поскольку у -dxidt, а время t только возрастает, то положительность у означает возрастание и абсциссы X. Соответственно, если (/<; О (нижняя полуплоскость), то изменение X должно быть отрицательным, т. е. изображающая точка движется влево (рис. 9.19):

б) интегральные кривые пересекают ось абсцисс {у = 0) только под прямым углом. Действительно, из уравнения (9.47), представляющего собой уравнение углового коэффициента касательной к интегральной кривой в точке X, у, следует, что при = О

-= 4-00 ( + 00 при х:<0 и -00 при хО). dx

Основываясь на указанных свойствах фазовых траекторий, можно построить фазовые портреты системы, описываемой уравнением (9.45), при различных соотношениях между а и coq.

Предварительно полезно выяснить, нет ли среди семейства изоклин, определяемых выражением (9.48), такой прямой, которая является одновременно и интегральной кривой исходного уравнения (9.45), Такая прямая (если она имеется) должна удовлетворять уравнению (9.48) и, кроме того, условию у ~ kx -\- С. Отбрасывая постоянную С, приходим к двум условиям

и =---- X и u = kx,

из которых вытекает равенство k = -шо/(2а -f /г) и формула

а± Ка-Шо. (9.49)

Но k не может быть комплексной или мнимой величиной. Следовательно, искомая изоклина существует только при а > coq, т. е. в случае апериодического контура; при этом в пучке изоклин, определяемых выражением (9.48), имеются две интегральные кривые (рис. 9.20):

у = k,x - прямая С, у = kiX - прямая D.

Кроме того, известна изоклина горизонтальных касательных, соответствующая k = О 1см. (9.48).

г/=-- х-прямая А на рис. 9.20. (9.50)

Эти прямые, образующие «каркас» фазового портрета, в сочетании с условиями непересекаемости фазовых траекторий полностью определяют структуру фазового портрета, изображенного на рис. 9.20. Главной особенностью этого портрета является то, что при любых начальных условиях изображающая точка движется к началу координат. Таким образом, в рассматриваемом случае (аШд> 1) точка х = О, у - О является точкой устойчивого равновесия системы. Эта точка называется особой точкой типа устой чивогоузла.

Обратимся к случаю О < а/соо <; 1 (колебательная система с затуханием).



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [ 94 ] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0011