Если \

f . .

Ж (г) = Ко (1 П (1 -

г=-з

где =--=-- А = е-{\ "

то переходный процесс на выходе системы заканчивается за N шагов квантования.

Сформулируем основной результат: в системе (см. рис. 1.1. а), имеющей объект регулирования с передаточной функцией (1.51), для получения оптимального по быстродействию переходного процесса при ступенчатом входном воздействии величиной и и нулевых начальных условиях цифровой регулятор иа входе объекта (перед фиксатором нулевого порядка) должен сформировать управляющее воздействие, г -изображение которого определяется выражением

0 =--Ж-. Л, = е««*. (1.64)

При г > I и t/ = 1

М (г) = /(о (1 + б,г + ... + bг-"+) =

= /По + mi2-i + /пг"* + • • • ffi/v-iz""*. (1.65)

где амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего воздействия на входе объекта регулирования (выходе фиксатора нулевого порядка) определяются как = Ко, Щ - = biKo.

Учитьгаая, что

Иптг- = -Г " Iim;=l,

формулы (1.63), (1.64) можно также получить из выражений (1.58), (1.61) путем предельного перехода.

При комплексно-сопряженных частотах (s+ «;)(« +«у) = (sHJ-+ о + iK)is + о - А) = «2 + 2as + о» + Я» = s" + 6s + а; fr = 2о; а =. о" + Я*.

Таким образом, по формулам (1.63). (1.64) можно определять оптимальные управляющие воздействия для объектов регулирования с любым порядком астатизма, о апериодическими, коле:;

бательныыи, консервативными устойчивыми и неустойчивыми звеньями.

Определение передаточных функций оптимальных для ступенчатых входных воздействий цифровых регуляторов. Передаточная функция цифрового регулятора определяется как отношение Z -преобразований выхода регулятора (управляющего воздействия на входе фиксатора нулевого порядка) ко входу (ошибке системы на выходе мгновенного ключа) при нулевых . начальных условиях

W{z) = М (2)/0 (г). •> (1.66)

z-изображение ошибки системы (рис. 1.1, а после мfн.oвeиoгo ключа) при единичном ступенчатом воздействии на входе системы

При оптимальном управлении объектом г-изображение выхода системы со статическим объектом регулирования- (г-- 0). определяется выражением (1.59). Для объекта регулирования с астатизмом 1-го порядка -.

N . -

X (г) = DoiKo {"[ (1 - Аг-) + лад -+

+ Коа- Z-1) S D, П tl - Л,-г-1). (1.68)

где коэффициент Ко можно определить по формуле (1.64) при г =1. Для объекта регулирования с астатизмом 2-го порядка

X(z) = D„Ko(l-2-x)fI(l-,2-i)+ - •

+ hDoKoZ- П ~ " + (-z-)

«"=3 - • -

X П (I - .)+0 (1 - г-») S « П (1 -i (ьеэ)

где коэффициент Ко можно определить по формуле (1.64) при г 2.

Определим передаточную функцию оптимального для ступенчатых входных воздействий цифрового регулятора- в системе lia рис. 1.1, ас объектом регулирования, математическая модель которого описьшается передаточной функцией

а а . >\

G (S) = 1.л.ги\(яЛ-аЛ = 2

где «1 = а; o(j = 6; г = 0; iV = 2.

По формулам (1.54) находим .

01 - а6 ! 1 -й(а - fc) • 2--b{a - b)-

Обозначим A-i = A = ё~°\ = В = е""**. Согласно выражениям (1.58) и (1.62) запишем

(1-Лг-1)(1-Вг-1) l+V-i + fc2g-2 М (г) = Ко J 2-л-= Ло-J -,

"•« »> = а(1-Л)(1-В) = -(Л+В); Й2 = ЛВ. По формулам (1.59) н (1.67) найдем

W - 1 ,2-г ~ (1 -.г-1)(1 - Л)(1 - В) - аЬ Га(1-Вг-1) оО-Лг)] , ,

~а(1-Л)(1 -B)L а(й -6) ~ b(a - b) J = i+«i2*.

6В -йЛ + (й -fc) ЛВ где .

Передаточная функция оптимального цифрового регулятора

е (г) = 0 (1-г-1)(1+Й1г-1)

Описанный способ нахождения в аналитическом виде пере- даточных функций W (г) оптимальных цифровых регуляторов для систем (см. рис. 1.1, а) с объектами регулирования высокого порядка по формулам (1.59), (1.63) - (1.69) часто приводит к громоздким и трудоемким математическим выкладкам, а аналитические выражения для коэффициентов uj- передаточной функции W (г) цифрового регулятора получаются сложные.

Рассмотрим другой численно-аналитический способ получения передаточных функций W (г) оптимальных цифровых регуляторов, который заключается в следующем. По табл. 1.2 или по формулам (1.63), (1.64) иаходнм в аналитическом виде г-изображение оптимального управляющего воздействия М (г) для заданной передаточной функции G (s) объекта регулирования. По заданным параметрам передаточной функцив G (s) и шаге квантования Л рассчитываем коэффициенты Ко и fcj- и определяем оптимальное управляющее воздействие m (О = «2 ( непосредственно на входе объекта. Зная воздействие т (t) и передаточную функцию объекта регулирования, численным методом определяем выходную координату системы х (i). По дискретным значениям выходной координаты х (vh*), v ~ 0,1, 2,..., находим дискретные значения ошибки системы 0 (vft*) s= 1 - л: (vh*) н передаточную функцию

- М{г) М{г)

= ви=л-

где Л.- порядок полинома в знаменателе передаточной функции G (s) объекта регулирования.