-т(N - 2). Kobfj= m{N) - m(N - 1) при статических и Кф1= = -m{N- 1) при астатических объектах регулирования. Отметим, что Ко (6о + /"i + • • • + w) = W прн статических и Ко (I + + 6i Ч- • • • + /"л?) = О при астатических объектах регулирования. Теперь дискретную передаточную функцию объекта можно ваписать в виде

ЯО(г) = дщ = - =

Ко (Г + + Ьг- +...+ bj,z-") • а передаточную функцию цифрового регулятора в виде

- ЯО (г) 1 (г) - 1 - Кз (г) = Ко (I... +Ьг-")

(1.73)

(1.74)

-----kjZ-"

Сравнивая правые части выражений (1.72) и (1. 73), находим параметры передаточной функции W (г), цифрового регулятора (1.74) через параметры дискретной передаточной функции HG (г) объекта регулирования с фиксатором нулевого порядка:

fej = CiKo; /j2 = C2Ko; ... ; kfj = cK(i;

(1.75)

г-изображение управляющего воздействия на входе объекта регулирования (перед фиксатором нулевого порядка) определяется как

М (г) = Q (г) и (г) = (1 -f йг"! -f bz + -+ bjz-").

Для астатических объектов правую часть этого выражения можно представить в виде

М (г) = Ко (1 -f b\z- + bl,z- +-•+ b- iZ-+\

где Ko&l = m (1); Коб = «(2): •. • : Kofciv-i =m(N~ I).

Коэффициенты fc и 6; связаны соотношениями

fci = &i - 1; fcg = 2 ~ 6i; •. • ... ; bjj i = fcjyj ~ bjj 2 bfj = -

Рассмотрим систему рис. 1.1 ,a с объектом регулирования, математическая модель которого описывается передаточной функцией

G(s)= a[(s + a)(s-ffc)]-i. По формулам (1.54) находим 01 = 1

= 6-): о. = -б(): D, + D,-Do,.

По формуле (1.55), в которой Ai = A = е~* и Л = В = е"\ определяем

HG (г) = Doi + (1 - z 1) 1 (Л + В)г-1 + ЛВг-

- 1 diz-i + d.,z- где ci = - [Dot (Л + B) + Di + Dj + DjB + DI;-

C2 = DoiAB + DB + DA; d = - (Л + B); d = ЛВ.

По выражениям (1.75) находим

" ci + ca - Doill -(Л + B) + AB] =

ofc

-afl -(Л + В) + ЛВ1

б1 = 1 = -(Л + В): fei = KoCi =

аЛ + 6B

-(A + B) + Err

= rfa = ЛВ; Aa = Koc = iCo (лВ - ° );

1 - feiZ-l - = (1 - z-l)(l + OiZ-l),

6Й -аЛ+(a -6)ЛВ где «1 - (a - (Л + B) + AB]

Полученная no формуле (1.74) передаточная функция цифрового регулятора совпадает с табличной (см. табл. 1.1, п. 3).

1.5. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ПРИ ЛИНЕЙНО ИЗМЕНЯЮЩЕМСЯ ВХОДНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Определение передаточных функций W (г) оптимальных цифровых регуляторов при линейно изменяющемся воздействии иа входе систем (см. рис. 1.1, а) с астатическими объектами регулирования выполняется аналогично нахождению этих функций при ступенчатом входном воздействии [26]. При этом целесообразно находить вначале оптимальные управляющие воздействия на входе объектов регулирования, затем - дискретные значения ошибки и определять передаточную функцию W (г) по формуле (1.70).

Рассмотрим систему (см. рис. 1.2, а), на вход которой поступает линейно изменяющееся входное воздействие вида и (О = = и + Gt при нулевых начальных условиях. На вход объекта регулирования поступает управляющее воздействие т (<) ~ ~ «2 (О, постоянное иа шаге квантования h и изменяющееся скачком от «2 (vft) ДО «2 (vh+) в дискретные моменты времени f=vh*.

Записывая уравнения объекта в векторно-матричной форме V = Av, где 5?= [,Vf, JTg, "я ]. определяем дискретную матрицу перехода для объекта регулирования в виде

Г1 Q аР!

Ф(Л) =

OBaQ

.00 и

где коэффициенты В, Q к Р можно определить по формулам (1.3). Обозначим «3 (vft+) = v = О, 1, 2, ... Далее последовательно находим

ф(0+)=[0; 0; то); © (Л+) = [аР/По; aQnto; ЩУ, иРтд + aQnio + а.Рт{ ©(2А-)= aQBmf,+ aQmi

Учитывая, что в установившемся режиме при > 2fi значения выходной координаты объекта регулирования и ее производной должны повторять входное воздействие и его производную, т. е. Xi=Ui - U -{-at и дс1 = «1 = о, определяем оптимальные управляющие юздействия на входе объекта из условий

Хх (2Л+) = аРгПо + aQnio + а-Рт = t/ + 2fta; АГа (2A+) = ajQBmo + aQm = о.

Решая эту систему уравнений, получаем

тг = -Вто + ;с;

и 2hQ - P

"о-a(P+Q~BP) +aQ(P + Q - BP)°

С учетом принятых для элементов дискретной перехода обозначений окончательно находим

Ш 1 + 6/г - (1 + Ш) В

"о - сЛ (1 - В) + ah (1 - В)2

ЬВи bh - (1 + 2М)(1 ~В)В

матрицы

(1.76)

ah (1 - В) aJh (1 - Bf

= ba/a при v > 2.

Таким образом, определены выходные дискреты цифрового регулятора. Вычислим входные дискреты

0 (ОП = щ (0+) = и~хг (0+) = U; & (/1+) = «2 (h*) = U + ha-Xi (ft+) = U+ha - аРт = 1-(1+№)В [!-(!+Ш)Вр " bh(l-B) 6%(1 -В)2 i-/

0 (2Л+) = «а (2ft+) = + 2fta - a:i (2/i+) = 0. Передаточная функция оптимального цифрового регулятора

ч /По + тг-х + (г- + г-« + . . . + + . ..) (г) = 0 (0+) + 0 (ft+) г-1 -

= (1 2-1)([/+о,г-1) ,. t-)

где &о = По; fei = mi-/По; feg ="а -"i = о - "il«i = ® С*)-Периходные процессы в интервале 0+ < т < ft, т = , определяются вектором

фТ(т) = [аР(т)/По; aQ(T)/no; /Во},

(1.79)