Пример 1.17. В соответствии с рекомендациями МЭК и национальными

стандартами испытания самовосстанавливающейся изоляции считаются успешными, если в 15 опытах при воздействии на изоляцию импульсным номинальным выдерживаемым напряжением имеют место только два пробоя (см. § 3.3). Какова вероятность выдержать испытания, если при импульсном номинальном напряжении имеется вероятность пробоя р=0,05? Испытания выдержаны, если при п=15 число наблюдаемых пробоев k будет равно О, 1 или 2, т. е. будет соответствовать закону сложения (1.7):

Рисп = Ро(ft = 0: п = 15) + pi{k = \; п= 15) + р,(ft = 2; п = 15);

причем сумма вероятностей трех возможностей может быть использована как суммарная вероятность

Рисп = Р2 (fe<2; п= 15).

На основании работы [27, табл. 1А] ро=0,4633; pi=0,3658 н р2=0,1348; таким образом, Рлисп = 0,9639.

Искомая вероятность при выполнении испытаний получается равной PS = 0,9638 = риеп [27].

При обсуждении результатов высоковольтных испытаний с использованием биномиального распределения большую роль играют доверительные оценки вероятности (см. пример 1.16).

Использованная литература: [28-30].

Распределение Пуассона.

Модель. Распределение Пуассона получается из биномиального распределения, когда п неограниченно возрастает и одновременно пр = к остается постоянным (предельная теорема Пуассона):

lim f ")jD*(l-p)«-fe = -e- (1.61)

np=K

{k = 0, 1, 2, ...). Поскольку при большом n и /гр = Я,=const вероятность р весьма мала, распределение Пуассона описывает редкие события.

Значение вероятностей (функция плотности):

P(X = fe)=-e-\ (1.62)

Суммарная вероятность (функция распределения):

P{Xk)=y -е-\ (1.63)

£л ml

Параметр: Я (распределение имеет только один параметр!). Математическое ожидание;

ЕХ = Х. (1.64)

1.0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 ОЛ 0,3 0,2

0,1 О

P(Xik)=P(k;\)

Рис. 1.12. Распределение Пуассона с параметром =2

ft)=p(ft; X,) - вероятности реализации; P(X<k)=P{k; X,)-ступенчатая функция распределения

Дисперсия:

DX = X. (1.65)

Пример: рис. 1.12. Таблицы [26, табл. 2А и 2В] заданы для функции распределения и функ-

л 4 9 7 А <г ff 7 я о плотности при 0,01 <

О 1 2 3 Ч 5 6 7 8 9 10 gQ „ 0<fe<80.

Точечная оценка для % следует прямо из уравнения (1.64):

Р(Х=?с)=р(/г;Л)

jc-1-

П 1=1

(1.66)

Доверительная оценка для К. С помощью полученной по вы-

борке суммы =2]д:г[27] может быть установлен доверитель-

ный множитель для нижней (Я. и верхней (я,;. ) доверительной границы. При д = г (статистическая надежность) устанавливают односторонний доверительный интервал

. п

или, что то же, / =

а при q=(\+E)l2 - и двухсторонний интервал

-fe; (1-Ье)/2

Ч: (1-Ье)/2

(1.67а)

(1.676)

Поскольку и для распределения Пуассона доверительные множители для построения доверительных интервалов устанавливаются по квантилям храспределения (см. п. 1.3.2), при этом можно использовать таблицы [27].

Применение. С помощью предельной тебремы Пуассона биномиальное распределение аппроксимируется для больших п и малых р под специальным формальным названием - распределение Пуассона. Это удобно на практике, когда биномиальное распределение не табулировано (/г>30); оно применяется также в теории надежности и теории элементарных делителей.

Пример 1.18. Вероятность пробоя некоторого изолирующего устройства составляет р=0,01. Какова вероятность того, что прн п=100 опытам будет

пробито не более одного образца? Ее можно вычислять с помощью биномиального распределения как суммарную вероятность

Я (fe < 1) = Р (fe = 0) -Ь Р (fe = 1).

Биномиальное распределение, для которого при л=100 уже нет таблиц,

дает

Р (fe < Г, п = 100; р = 0,01) = О.О!»- (О.ЭЭ)"» +

4- 0,011 (0,99)" = 0,3664-f 0,3701 = 0,7365.

Распределение Пуассона прн А.=рп=1 без специальных вычислений дает искомую вероятность

Р (fe < 1; = 1) = 0,7358.

Установлено, что распределение Пуассона дает более точные значения искомых величин, чем исходное биномиальное распределение.

Использованная литература: [31].

1.3.2. Непрерывные случайные величины.

Непрерывное равномериое распределение.

Модель. Случайная величина X на интервале а<х<6 с одинаковой вероятностью попадает в равные интервалы (рис. 1.13). Функция плотности вероятности:

х<а;

f{x)= 1/{Ь-а) a<x<fc;

О х>Ь.

Функция распределения:

0 х<а;

F{x) = \ {xa)l{b -а) а < х < fe;

1 x>fe.

(1.68)

(1.69)

Параметры: а; Ь. Математическое ожидание: ЕХ= (а + Ь)/2. Дисперсия: DX= {Ь-а)У 12.

Применение. Равномерное распределение играет определенную роль, когда исследуются физические процессы с независи-

Рис. 1.13. Плотность распреде-леиня fx н функция распределения F{x) непрерывного равномерного («прямоугольного») распределения (а и 6 -параметры)