мой постоянной плотностью вероятности (например, плотность переносимых зарядов). Так при изучении ионизационных процессов равномерно распределены во времени и пространстве начальные электроны.

Нормальное распределение.

Модель. Случайный процесс обладает нормальным распределением, если он может быть представлен суммой большого числа произвольным образом распределенных случайных величин, каждая из которых создает незначительный вклад в сумму (центральная предельная теорема (17]). Ввиду большого числа подобных случайных процессов в природе и технике эта модель придает исключительно большое значение нормальному распределению, введенному Муавром (1667-1754), Лапласом (1749-1827) и Гауссом (1777-1855) (функции ошибок и разбросы).

Функция плотности вероятности:

у/2л а Функция распределения:

1 j

Ф{х; fi; о2) =

у/2л а j

2а2 J

20 J

(1.70)

(1.71)

Параметры: ii (действительная величина; среднее значение = медиана = мода); (>0; дисперсия; а - стандартное отклонение). Обозначение: N{11; о)=Ф{х; [i; а).

Математическое ожидание: EX = ii (равно параметру).

Дисперсия: ОХ = о (равно параметру).

Нормирование:

z = (x-n)/a. (1.72)

Нормированное распределение имеет р,=0; а = 1; N{0; 1). При этом записывают Ф{х; ц; а)=Ф{г) и ф(х; ii; а)=ф(2)/а дляЛ(0; 1).

Пример: рис. 1.14.

Свойство симметрии нормированного нормального распределения:

ф(-2) = ф(2); ф( 2)=1-Ф(2).

В работе (27] с учетом свойства симметрии задаются величина плотности функции распределения, а также квантили. Некоторые квантили Яд порядка q приведены в табл. 1.6.

Рис. 1.14. Плотность распределения (p(x) и функция распределения Ф{х) нормированного нормального распределения (ц=0; 0=1)

Пример 1.19. Напряжение пробоя воздушного промежутка распределено нормально с р,=200 кВ и а=10 кВ. Определим вероятность того, что реализация окажется в интервале 170 кВ<и„р<185 кВ. Используя нормирование (1.72) и свойство симметрии, имеем

Р070 кВ:..,«186кВ).р(-™=™-<.<

10 10

= Р( - 3<z< - 1,5) = Ф (- 1,5) - Ф (- 3) = [1 - Ф (1,5)] -

-11-Ф(3)] = Ф(3)-Ф(1.5).

По табл. 1.6 находим Р (170 кВ<ипр<185 кВ) =0,998650-0,933193= =0,065457.

Таблица 1.6

Точечная оценка:

- 1 " •

для •.* = х= - Y.Xi-=XiQ;

П 1=1

(1.73)

для aa* = s = -Ц-Е {Xi-xf={x,,x,,f, (1.74)

л - 1 1=1

причем xso* и - квантили эмпирической функции распределения.

Доверительная оценка. Предположим, что оба параметра неизвестны; доверительный интервал для \к следует из /-распределения (см. п. 1.3.2), а для - из х-распределения (см. п. 1.3.2). Они сведены в табл. 1.7.

Если при доверительной оценке для \к параметр известен, это дает возможность уточнить и доверительный интервал для ц (см. [27, гл. 3]).

Еще проще выполняется расчет доверительных границ для стандартного отклонения а при использовании [27, гл. 7].

Пример 1.20. В опытах с нарастающим напряжением прн п=10 имеет место нормально распределенное напряжение пробоя, причем точечные оценки (1.73) и (1.74) дают эмпирические значения параметров .v=21,10 кВ и 5=0,55 кВ. Доверительные границы прн доверительной вероятности е=0,95 вычисляются по формулам табл. 1.7; по ним вычисляются доверительный интервал для р,: односторонний с е~ э- 0 95 ~ " двухсторонний с

п-1; (Ц-Е)/2 = э; 0,975 = 2>26; доверительный интервал для а: односторонний

Хп ; 1-Е - Хэ; 0,05 - ЗЗЗ

и, что то же, х„ 1; е = 59; 0.95 = 16,92 и двух-