сторонний

Z l; (1 в)/2 = Х; 0,025 = 2.70 или, что то же.

Х„ 1; (1--е)/2 -

= Хд. 0,975 = 19,02. Результаты сведены в табл. 1.8.

Доверительные границы. Построение доверительных границ с помощью доверительных интервалов для параметров нормального распределения ц и а дает лишь весьма грубое, оценочное представление о доверительном интервале всей функции распределения (доверительный интервал слишком широк - см. рис. 1.15, а и пример 1.20).

Для получения статистически надежных данных относительно очень малых квантилей (например, выдерживаемое напряжение) или очень больших квантилей (например, статисти-ческого напряжения пробоя) желательно, однако, иметь удобное приближение для доверительных границ. Поскольку точных доверительных значений таких квантилей нет, в качестве доверительного интервала можно принять его приближенную оценку [17, 27]. При этом, что очень удобно, еще до определения функций распределения (1.13) можно рассчитать односторонние доверительные интервалы: выше нижней доверительной границы (/=[тн; +оо]) или ниже верхней доверительной границы (/= = [-оо; тв]) лежит по меньшей мере доля генеральной совокупности Y при заданной статистической надежности р.

Для малых, близких к нулю, квантилей порядка (1-у) можно поэтому интерпретировать Тн как нижнюю одностороннюю доверительную границу, а для больших, близких к 1, квантилей порядка (у-Тв) - как верхнюю одностороннюю доверительную границу. На основе сделанных оценок параметров нормального распределения {х, s) вычисляют Тн, Тв и определяют табулированный доверительный множитель „;р;.у (табл. 1.9 [27]):

0,95 0,90

0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20

0,10 0,05

0,01 18

19 20 21 22 23 кВ

Рис. 1.15. Доверительные границы нормального распределения, построенные с помощью доверительных интервалов (параметры ц н а - двухсторонние) - а н односторонние доверительные границы [27] -б (вероятностная сетка)

= X±kn; р; yS.

(1.75)

Для больших п доверительный множитель может быть рассчитан по приближенному выражению

2 (п-1)

2(„ 1) Ц L д/2(я-1)

X

(1.76)

при этом Яр и Ку-квантили порядка р или у нормального распределения N (0; 1).

Пример 1.21. На основании примера 1.20 при п=10 необходимо вычислить доверительные границы использованного эмпирического нормального распределения (Ыпр=х=21,10 кВ; s=0,55 кВ). По заданной статистической надежности Р=0,95 определяем доверительный множитель fel0;0,95, v по табл. 1.9 для Y=0,90 -как 2,355, для y=0,95 -как 2,911, для v=0,99 - как 3,981. Определенные по выражению (1.75) доверительные границы изображены на рнс. 1.15,6. Штриховые линии показывают, что односторонние доверительные границы совпадают с односторонним доверительным интервалом средней величины.

Замечание. Более полное описание расчетов н использование доверительных границ можно найти в работе [27]. С помощью произвольных доверительных границ можно планировать необходимый объем выборки (см. п. 2.3.1).

Применение. Нормальное распределение имеет основополагающее значение для многих статистических оценок и тестов. Оно особенно удобно для описания таких случайных процессов высоковольтной техники, как пробой воздушных промежутков и пробой по поверхности изоляторов (см. § 4.2), однако находит широкое применение и для описания процессов в других областях. В высоковольтной технике инженерные расчеты, связанные с многочисленными преобразованиями, основаны на нормальном распределении, ссылки на которые лучше всего говорят инженеру о необходимости всегда иметь его в своем распоряжении.

Использованная литература: [29, 30, 32-43].

Логарифмически нормальное распределение.

Модель. Случайную величину У>0 называют распределенной по логарифмически нормальному закону, если при преобразовании X=lgy (или X=\nY) образующаяся случайная величина обладает нормальным распределением. Для преобразованной случайной величины X пригодна при этом модель нормального распределения. Для X можно использовать все соотношения, полученные относительно Л(ц; а)-см. п. 1.3.2.

Если вместо случайной величины У рассматривать случайную величину y* = y-f-a, образуется трехпараметрическое логарифмически нормальное распределение с начальным параметром а, с помощью которого преобразованием У=У*-а можно перейти к двухпараметрическому распределению.

Рисунок 1.16 поясняет необходимые преобразования для перехода от трехпараметрического логарифмически нормального распределения к стандартному нормальному распределению N{Q; 1). Одновременно делается ясным, что из усеченного логарифмически нормального распределения (начальная величина а для У* или О для У) получается распределение при произвольных значениях аргумента.