Главная  Среднее значение величин 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

Доверительные интервалы

Параметр

Точечная оценка

односторонние ограниченные

сверху

снизу

двухсторонние

Среднее значение р.

йпр=21,10 кВ

[-оо; Ипр. bJ: Unp. В1=

=21,42 кВ

["np.Hi; +00]:

"пр. И1=

=20,78 кВ

["прна; "пр. вг] "пр. Н2=

= 20;71 кВ;

"пр. В2=

=21,49 кВ

Стандартное отклонение а

S = 0,55 кВ

[0; Sbi]: Sbi=0,90 кВ

[Shi; +00]: Shi=0,40 кВ

[Shz! Si]. Sh2=0,38 кВ; Sb2=1,00 кВ

сторонний

Z l; (1 в)/2 = Х; 0,025 = 2.70 или, что то же.

Х„ 1; (1--е)/2 -

= Хд. 0,975 = 19,02. Результаты сведены в табл. 1.8.

Доверительные границы. Построение доверительных границ с помощью доверительных интервалов для параметров нормального распределения ц и а дает лишь весьма грубое, оценочное представление о доверительном интервале всей функции распределения (доверительный интервал слишком широк - см. рис. 1.15, а и пример 1.20).

Для получения статистически надежных данных относительно очень малых квантилей (например, выдерживаемое напряжение) или очень больших квантилей (например, статисти-ческого напряжения пробоя) желательно, однако, иметь удобное приближение для доверительных границ. Поскольку точных доверительных значений таких квантилей нет, в качестве доверительного интервала можно принять его приближенную оценку [17, 27]. При этом, что очень удобно, еще до определения функций распределения (1.13) можно рассчитать односторонние доверительные интервалы: выше нижней доверительной границы (/=[тн; +оо]) или ниже верхней доверительной границы (/= = [-оо; тв]) лежит по меньшей мере доля генеральной совокупности Y при заданной статистической надежности р.

Для малых, близких к нулю, квантилей порядка (1-у) можно поэтому интерпретировать Тн как нижнюю одностороннюю доверительную границу, а для больших, близких к 1, квантилей порядка (у-Тв) - как верхнюю одностороннюю доверительную границу. На основе сделанных оценок параметров нормального распределения {х, s) вычисляют Тн, Тв и определяют табулированный доверительный множитель „;р;.у (табл. 1.9 [27]):




0,95 0,90

0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20

0,10 0,05

0,01 18

19 20 21 22 23 кВ

Рис. 1.15. Доверительные границы нормального распределения, построенные с помощью доверительных интервалов (параметры ц н а - двухсторонние) - а н односторонние доверительные границы [27] -б (вероятностная сетка)

= X±kn; р; yS.

(1.75)

Для больших п доверительный множитель может быть рассчитан по приближенному выражению

2 (п-1)

2(„ 1) Ц L д/2(я-1)

X

(1.76)

при этом Яр и Ку-квантили порядка р или у нормального распределения N (0; 1).

Пример 1.21. На основании примера 1.20 при п=10 необходимо вычислить доверительные границы использованного эмпирического нормального распределения (Ыпр=х=21,10 кВ; s=0,55 кВ). По заданной статистической надежности Р=0,95 определяем доверительный множитель fel0;0,95, v по табл. 1.9 для Y=0,90 -как 2,355, для y=0,95 -как 2,911, для v=0,99 - как 3,981. Определенные по выражению (1.75) доверительные границы изображены на рнс. 1.15,6. Штриховые линии показывают, что односторонние доверительные границы совпадают с односторонним доверительным интервалом средней величины.

Замечание. Более полное описание расчетов н использование доверительных границ можно найти в работе [27]. С помощью произвольных доверительных границ можно планировать необходимый объем выборки (см. п. 2.3.1).



Объем выборки п

Порядок квантиля у или 1-7

0,90

0,95

0,99

3,413

4,209

5,746

2,355

2,911

3,981

2,069

2,566

3,519

1,926

2,396

3,294

1,778

2,220

3,063

1,646

2,065

2,862

1,527

1,927

2,684

1,386

1,763

2,475

1,282

1,645

2,326

Применение. Нормальное распределение имеет основополагающее значение для многих статистических оценок и тестов. Оно особенно удобно для описания таких случайных процессов высоковольтной техники, как пробой воздушных промежутков и пробой по поверхности изоляторов (см. § 4.2), однако находит широкое применение и для описания процессов в других областях. В высоковольтной технике инженерные расчеты, связанные с многочисленными преобразованиями, основаны на нормальном распределении, ссылки на которые лучше всего говорят инженеру о необходимости всегда иметь его в своем распоряжении.

Использованная литература: [29, 30, 32-43].

Логарифмически нормальное распределение.

Модель. Случайную величину У>0 называют распределенной по логарифмически нормальному закону, если при преобразовании X=lgy (или X=\nY) образующаяся случайная величина обладает нормальным распределением. Для преобразованной случайной величины X пригодна при этом модель нормального распределения. Для X можно использовать все соотношения, полученные относительно Л(ц; а)-см. п. 1.3.2.

Если вместо случайной величины У рассматривать случайную величину y* = y-f-a, образуется трехпараметрическое логарифмически нормальное распределение с начальным параметром а, с помощью которого преобразованием У=У*-а можно перейти к двухпараметрическому распределению.

Рисунок 1.16 поясняет необходимые преобразования для перехода от трехпараметрического логарифмически нормального распределения к стандартному нормальному распределению N{Q; 1). Одновременно делается ясным, что из усеченного логарифмически нормального распределения (начальная величина а для У* или О для У) получается распределение при произвольных значениях аргумента.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

0.0008