Главная  Среднее значение величин 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

предельное распределение возникает при п->-оо и одновременно при Fa{x)0:

lim {l[i-F{x)r] = F{x).

(1.82)

Какое предельное распределение F{x) возникает при этом, зависит от Fa, (х) - его так называемого начального распределения. Поскольку при предельном переходе нас интересует только окрестность Fa,(x)->0, не требуется определять всю функцию распределения Fa{x). Достаточно того, что функция «возрастает справа», т. е. F{xq)=0 и F{Xo + b)>0 при е>0.

Этим требованиям удовлетворяют очень многие функции. Как определил Гнеденко (49], произвольная функция Fa. (х) может привести лишь к трем типам экстремальных распределений:

1) неограниченное распределение; применяется при решении задач минимизации: двойное экспоненциальное распределение, см. п. 1.3.2;

2) ограниченное сверху, неограниченное снизу; в высоковольтной технике не применяется;

3) ограниченное снизу; неограниченное сверху; применяется при решении задач минимизации; распределение Вейбулла.

Начальное распределение, порождающее распределение Вейбулла, может быть обобщено в форме

где х>хо; Т1>0; б>0. Для Xq = 0 и 6=1 имеет место особый случай распределения Вейбулла - экспоненциальное распределение.

Плотность распределения:

f{x) =

(у-ехр[-(-)«] (.>,);

(1.83)

(Х < Хо).

Особый случай экспоненциального распределения: Хо = 0: 6=1; п=1Д.

Функция распределения:

f (х) =

ехр[-(-У] {х>хо);

О (х < Хо).

1.84

Особый случай экспоненциального распределения: л-о = 0; 6=1;т1 = 1А.



Параметры: г\=Хбз-Xq (63%-ный квантиль соответствующего двухпараметрического распределения); б (дисперсия, показатель экспоненты Вейбулла); Хо (начальное значение).

При Хо = 0 трехпараметрическое распределение Вейбулла сводится к двухпараметрическому. Экспоненциальное распределение при Хо = 0 и 6=1 имеет только один параметр, обычно обозначаемый как К (X=1/ti).

Математическое ожидание:

ЕХ = хо + цТ{1/Ь+1), (1.85)

где Г(1/б-Ь1) -табулированная гамма-функция [50].


\Ч--

ч ---X

Рис, 1.18, Плотность распределения fw(x) и функция распределения Fw{x) двухпараметрического распределения Вейбулла с параметрами Хо=0 и г\ = = Хбз=1 (при 6=1-экспоненциальное распределение)

Экспоненциальное распределение: ЕХ=г\=1/к. Дисперсия:

z).x=,[r(A + i) p( L + i)-

(1.86)

Экспоненциальное распределение: D2X = if]2= 1Д2.

Пример: рис. 1.18. Распределение Вейбулла, особенно трехпараметрическое распределение, обладает разнообразными формами. Трехпараметрическое распределение возникает из

См. также Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. Специальные функции.-М.: Наука, 1968. (Прим. перев.)



Порядок Q

Квантиль е>д. 5 для в, равного

0,01

0,05 0,10 0.20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95 0,99

0,0001 0,0026 0,0111 0,0498 0,1272 0,2609 0,4805 0,8396 1,4496 2,5903 5,3019 8,9744 21,2076

0,0101 0,0513 0,1054 0,2231 0,3567 0,5108 0,6931 0,9163 1,2040 1,6094 2,3026 2,9957 4,6052

0,0466 0,1381 0,2231 0,3679 0,5029 0,6390 0,7832 0,9434 1,1317 1,3734 1,7437 2,0781 2,7680

0,1003 0,2265 0,3246 0,4724 0,5972 0,7147 0,8326 0,9572 1,0973 1,2686 1,5174 1,7308 2,1460

0,2158 0,3716 0,4723 0,6065 0,7092 0,7994 0,8850 0,9713 1,0638 1,1719 1,3205 1,4416 1,6637

0,3166 0,4759 0,5697 0,6873 0,7728 0,8454 0,9124 0,9784 1,0475 1,1263 1,2318 1,3156 1,4649

двухпараметрического при линейном преобразовании, например, как это выполнено на рис. 1.18 при сдвиге оси абсцисс.

Для упрощенного распределения Вейбулла (т1 = (овз = 1; Xq = ==0) в табл. 1.10 приведены квантили (о,;б. Квантили обобщенного распределения Вейбулла задаются выражением

й>;б; л; *о = -о + Лй>?; е. (1.87)

Таблицы: [27].

Точечные оценки. Оценки параметров распределения Вейбулла очень сложны. Если начальная величина известна или равна нулю, это распределение рассматривается как двухпара-метрическое распределение с параметрами ti и б.

Простую оценку для большинства случаев, встречающихся в высоковольтной технике, можно сделать на основе эмпирических квантилей, которые образуются при графическом изображении выборки (см. п. 1.5.1)

(1.88)

или при известных вентилях Хвз и Хоь

б*= l,2898/lg(V (1.90)

где F(xi) и F(x2) - порядки, т. е. величины функции распределения, соответствующие эмпирическим квантилям Х\ и х [см. табл. 1.10 и уравнение (1.84)].

Дальнейшие точечные оценки делают на основе метода моментов (табл. 1.11, п. 1) или метода наибольшего правдоподо-



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

0.0008