получается физически бессмысленная величина. Рекомендуется обрабатывать все реализации одновременно с помощью ЭВМ до выполнения условия (1.91) и исследовать распределение оценки F{xo) [57]. Мода этой функции дает наилучшую оценку.

Таблица 1.13

Показатель экспоненты 6

Поправочные коэффипиенты

ftj, = Г (1 + в)

gj= vr((lj-2/e)-

V6 = (i/4) <г <•+

-l-3/e)-3ftj,r(l-l-+ 2/6) + 2к1)

0,20 0,22 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,70 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 6,00 7,00 8,00 10,00 12,00 15,00

120,0

56,33

24,00 9,261 5,029 5,029 2,479 2.000 1,505 1,266 1,133 1,052 1,000 0,9649 0,9407 0,9236 0,9114 0,9027 0,8922 0,8862 0,8873 0,8930 0,8997 0.9064 0.9126 0.9182 0,9277 0.9354 0.9417 0,9514 0,9583 0.9657

1901.0

665.1

199,4 50,08 19,98 10,44 6,46 4,472 2,645 1,851 1,428 1,171 1.000 0,8783 0,7872 0,7164 0,6596 0.6129 0,5402 0,4633 0,3797 0,3246 0,2847 0,2543 0,2301 0,2103 0,1798 0,1572 0.1397 0,1145 0.0970 0,0790

190.1 112,3 60.1 28,33 16,74 11,35 8,413 6,619 4,593 3,498 2,815 2,345 2,000 1,734 1,521 1,346 1,198 1,072 0,865 0,6311 0,3586 0.1681 0,0251 -0.0872 -0.1784 -0.2541 -0.3733 -0,4632 -0.5336 -0,6378 -0.7107 -0,7871

Метод моментов дает возможность оценки трех параметров (табл. 1.11, п. 3), если известно, что теоретический коэффициент асимметрии распределения уь (см. п. 1.2.1) связан только с показателем экспоненты Вейбулла б {52, 53]. Если положить эмпирический коэффициент асимметрии распределения g равным теоретическому уь (табл. 1.11, п. 3), то табл. 1.13 сразу

же дает оценку для 6 (более подробные таблицы, выполненные при линейной интерполяции, приведены в работах [52 и 53]. Дальнейшее уточнение соответствует более точному определению экспоненты Вейбулла б.

Пример 1.22 [54, 56]. В опытах с нарастающим напряжением (см. § 2.3) полученные п=39 реализаций случайной величины пробивного напряжения промежутка стержень - плоскость в масле с минимальным шагом разбиты на 15 интервалов (табл. 1.14 дает таблицу исходного распределения). Для

Таблица 1.14

расчета начального значения используются интервалы 2, 6 и 11; с помощью соотношения (1.91) получена оценка w{,q=490 кВ. Преобразуя у= =«пр .-"пр о, все реализации наносят иа вероятностную сетку и проводят прямую линию (рис. 1.19, кривая 2). Оценка всех возможных Л= (3) =455 комбинаций показывает, что 127 из них не удовлетворяют соотношению, а еще 80 комбинаций физически бессмысленны (Unp о<0 или «пр o>Unp 1- наименьшей реализации). Мода функции распределения оставшихся 248 комбинаций дает оценку «„ро =524 кВ. Прн этом также получается прямая линия иа вероятностной сетке (рис. 1.19, кривая /). Как показывает оценка параметров в соответствии с выражениями (1.89) н (1.90), обе функции существенно различаются:

f <" («пр) : О = 490 («пр) = "пр о = 524 кВ;

= и% 63 - «<) о = 123.5 кВ: т,(2) = „(,2) 63 «(f> „ = 88 кВ;

«{,% = 613.5 кВ; «(f)63 = 612 кВ;

б<> = 4,162. б<2>= 2.593.

"10

го 3D W. 50 60 80 100 KB

Рис. 1.19. Изображения выборки нз табл. 1.14 в качестве трехпараметрического распределения Вейбулла с различными начальными значениями (вероятностная сетка распределения Вейбулла)

/-о(2> „ = 524 кВ (у = и . -и<2) V 2-и")„=490 кВ (у=и

пр О v." пр t пр 0) пр О V. пр » пр 0.

Метод моментов дает при Ипр =605,4 кВ, s=29,5 кВ эмпирический коэффициент асимметрии распределения g-=-0,3735 (табл. 1.11, п. 3). При g<= =Yb (см. табл. 1.13) следует, что 6=6,00; йь=0,9277 и Гь=0,1798. Прн использовании этих величин с помощью формулы п. 3 из табл. 1,11 получают наилучшую оценку:

u<f О = 453.2 кВ; Т1<> = 164,0 кВ; u-l 63 = 617,2 кВ. б<3) = 6.00.

Изменение одного параметра («пр о) влечет изменение всех остальных параметров. Интересно, что величина ипр о-Ь11=Ипр m почти не зависит от «про (изменяется только нз-за неточности расчетов при графической обработке), в то время как испытывает исключительно сильное влияние начальной величины.

Точечная оценка для экспоненциального распределения:

Я=1/т1=1/д:вз = /1/] дгг. (1.92)

Доверительные оценки. Доверительные оценки параметров распределения Вейбулла исключительно трудны. К настоящему времени сколько-нибудь общий способ оценки существует только для начальной величины [51, 57-59]; для остальных параметров доверительные оценки могут быть сделаны, если заданы расчетные формулы (табл. 1.15) и необходимые квантили (табл. 1.16). Кроме того, в работе [52] предложена другая