Параметр

Доверительные интервалы

Вспомогательные величины, пояснения

63 %-НЬШ

квантиль т]

[&н; SbV ЕГн = 11*ехр

-n;(l-6)/2 б*

-<(.-в)/2 б*

W. табулировано в работе [531, частично в табл. 1.16 - для 5 < п < 120;

п > 120; %q - квантиль нормального распределения (табл. 1.6)

Показатель экспоненты б

&в1:

&в =

"п; (1 -

е)/2

W табулировано в работе [531, частично в табл. 1.16 - для 5 < п < 120;

- дл?

п > 120; - квантиль нормального распределения (табл. 1.6)

Примечание. Начальное значение известно.

Таблица 1.16

5 7 10 15 20 30 40 50 60 80 100 120

-1,631 -1,196 -0,876 -0,651 -0,540 -0,423 -0,360 -0,318 -0,289 -0,248 -0,221 -0,202

-1,247 -0,874 -0,665 -0,509 -0,428 -0,338 -0,288 -0,254 -0,230 -0,197 -0,174 -0,158

1,107 0,829 0,644 0,499 0,421 0,334 0,285 0,253 0,229 0,197 0,175 0,159

1,582 1,120 0,851 0,653 0,549 0,435 0,371 0,328 0,297 0,255 0,226 0,205

0,604 0,639 0,676 0,716 0,743 0,778 0,801 0,817 0,830 0,848 0,861 0,871

0,683 0,709 0,738 0,770 0,791 0,820 0,839 0,852 0,863 0,878 0,888 0,897

2,779 2,183 1,807 1,564 1,449 1,334 1,273 1,235 1,208 1,173 1,150 1,133

3,518 2.640 2,070 1,732 1,579 1,429 1,351 1,301 1,267 1,222 1.192 1,171

доверительная оценка, точность которой, однако, не может быть достаточно определенно установлена.

Пример 1.23. Для выборки из примера 1.22 с объемом п=39 и оценочными параметрами a<fo=453,2 кВ. т](3 = 164 кВ, б<=6,00 надо оценить доверительные интервалы для т) и б с доверительной вероятностью <j=0,90. Выражения 9= (1-fe)/2=0,95 и 9= (I-е)/2=0,05 вместе с объемом выборки п=40 (табл. 1.16) дают:

Wio! 0,95 = 0.285; <о.о5=- - 0.288;

«Йи,95= 1.273; Г§ 005 = 0,839.

С помощью формул табл. 1.15 получаем доверительный интервал для

ri64KBexpf-°:M.V l64KBexpf + -°:H««-)U

\ 6,00 J \ 6.00 л

= (156,4 кВ; 172,1 кВ]

и для б-

6,00 6,00 Т

п-

. 1.273 0.839 .

= [4.713; 7,151].

Использование. Как и нормальное распределение, распределение Вейбулла принадлежит к наиболее широко используемым при исследованиях процессов в высоковольтной технике, в особенности двухпараметрического распределения - при решении проблем определения длительности жизни. Это относится, в первую очередь, к проблеме времени перед пробоем в твердых диэлектриках [44, 45, 60-66 и др.]. Распределение Вейбулла применяется, с одной стороны, при изучении пробивных напряжений или электрической прочности полимерных изолирующих материалов для определения допустимой длительности эксплуатации [64, 67] (см. п. 4.5.2); с другой стороны, естественно, возможно и его прямое использование [68-74 и др.]. В обоих случаях, однако, наиболее успешным его использование будет при переходе к трехпараметрическому распределению Вейбулла. Встречающиеся при этом проблемы поясняются примером 1.22; на основании одной выборки (табл. 1.14) могут получиться весьма различные распределения Вейбулла (рис. 1.19). Поскольку для оценки надежности определяемая начальная величина имеет еще и физический смысл выдерживаемого напряжения (или напряженности), то в особенности при использовании закона умножения (см. гл. 5), из-за этих неопределенных оценок начальной величины, техническую ошибку необходимо существенно уменьшить.

Если в двухпараметрическом распределении Вейбулла встречается б>10, удобно изобразить исследуемую случайную величину с помощью двойного экспоненциального распределения.

Использованная литература: [51-57, 60-74].

Двойное экспоненциальное распределение.

Модель. Поскольку двойное экспоненциальное распределение относится к группе экстремальных распределений, основные черты модели идентичны описанным ранее для распределения Вейбулла (см. п. 1.3.2), причем используется лишь следующая форма исходного распределения:

где tj - действительная величина; у>0 {49] (закон распределения минимума).

Рис. 1.20. Плотность распределения fnp(jc) и функция распределения пр(д:) двойного экспоненциального распределения

Плотность распределения: {1-ехр I-ехр ((х-ti)/y)])= ехр [-ехр((д;-ti)/y)] X XI-ехр ((д;-t])/y)- I/y = (1/y) ехр [(д;-ti)/y] ехр[ -ехр((д;т])/7)].

(1.93)

Функция распределения:

„р(л;)=1 ехр[ехр()]. (1.94)

Параметры: ц (63%-ный квантиль; мода); у - мера разброса.

Математическое ожидание:

ЕХ = г] - уС (С = 0,5772-постоянная Эйлера). (1.95)

Дисперсия:

(1.96)