Главная  Среднее значение величин 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [ 26 ] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

верительный интервал проходит через величину р=0. С полной уверенностью нельзя утверждать, что имеется корреляция между интенсивностью частичных разрядов и пробивным иапряженнем. Для получения четкого ответа необходимо увеличить объем выборки п.

1.4.3. Оценка коэффициента регрессии. Пусть задана выборка пар чисел (х,-; t/,), описанная в п. 1.4.2. При регрессии у по X (1.112) определяют коэффициент регрессии

Ьух= Ё ixi-x){yi-y)fZ {xi-xf. (=1 t=I

При регрессии х по у получается выражение (1.113)

Ьху = Ё {xi-x) {yi-y)lY. (yt-yf-

i = l

5 = r-: (1.118a)

1.1186)

1.119a) 1.1196)

(1.120) (1.121)

Пример L28. Для данных нз примера 1.27 необходимо вычислить обе прямые регрессии и нанести на рис. 1.32. Регрессия <7ямп по Ипр:

V = 2,29 пКл/кВ; а,„ = - 191,3 пКл;

W[nKfll= -191,3+2,29unp [кВ].

Регрессия «пр по дмп

Ьиц = 0,126 кВ/пКл; аид = 94,2 кВ;

"np[KB] = 94,2-f 0,126<7„„п [пКл].

Две прямые регрессии не совпадают; регрессия подтверждает выводы примера 1.27.

Естественно, что реализация определяет прямые регрессии (рис. 1.32). Как меру для этого влияния вычисляют остаточную дисперсию (остаточное изменение). Оно задается:

В обоих случаях свободный член а задается как

аух = у-1>ухх; ау = х-КуУ.

SRyx =

rt -2 ii п

S (yi-ayx-byXif;

SRxy =-

E (xc-ay-b,yyif.

(1.122)

(1.123)

rt-2 S

Дисперсии задаются также и для коэффициентов регрессии и свободных членов. Они должны быть заданы здесь только



для регрессии у по х, как во всех случаях, когда выполняется регрессия по какому-либо заданному параметру. Дисперсия свободного члена а определяется как

и для коэффициента регрессии b

?.,= 4.Л(«-1)]- (1-125)

С помощью этих двух дисперсий 83] могут быть вычислены двухсторонние доверительные интервалы для свободного члена -

"° = ± (l+E)/2Sa (1.126)

и для коэффициента регрессии -

I = Ьд ± „-2; (l+s)/2Sbyx . (1 • 127)

Здесь tm-q - квантиль /-распределения с т = п-2 степенями свободы порядка q= {1+е)12. В работах [18 и 83] имеется описание вычисления доверительных интервалов для всех прямых регрессии. Сравнение двух прямых регрессии может быть выполнено с помощью статистических тестов [18, 27, 83].

Как указывалось выше, линейная регрессия может быть использована, если с помощью каких-либо преобразований достигается линейность связи между исследуемыми величинами. Это играет большую роль прежде всего при исследовании времени жизни высокополимерных материалов (пример 1.26) для определения его распределения в опытах с постоянным напряжением (см. п. 1.2.4). Если для функции распределения имеется определенная теоретическая функция распределения [например, нормальное распределение Ф(л:)], то линейность достигается использованием согласующего обратного преобразования [ф-:(Л,)=г,(Л,)].

Пример 1.29. В опытах с постоянным напряжением (см. п. 2.1.1) при пяти различных напряжениях Илр г (=1. 2,..., 5) каждый раз делалось по п=\0 измерений. Относительная частость пробоев используется как вероятность пробоя. Связь между наблюдаемыми напряжениями и вероятностью пробоя (т. е. функция распределения) можно считать осуществляющейся по нормальному закону. Эмпирическая функция распределения должна быть определена с помощью регрессионного анализа. В предлагаемом случае напряжение Ипр i является параметром, который с помощью оценки

См. также Дж. Сквайре. Практическая физика. - М.: Мир, 1971. (Прим. перев.)



а) 1

0,8 0,6 0,4 0,2 О

57 58 59 60 61 62 нВ

Ь) 0,977 0,9

0,1 0,023- -2

V о -1

57 58 59 60 61 62 кВ

Рнс. 1.33. Линейная регрессия (пример 1.29); аппроксимация нормальным распределением: а -нелинейная задача; б - линеаризованная задача (вероятностная сетка)

относительной частости пробоя hi определяет, по предположению, нормально распределенную величину. Должна быть выполнена регрессия Л,- по Ипр i. Чтобы линеаризировать задачу (рнс. 1.33, а), рассмотрим вместо случайной величины hi преобразованную случайную величину iK/ii) (рис. 1.33, б), причем {hi)-функция, обратная нормальному распределению [27, табл.3]. (Такое же преобразование лежит в основе масштабирования нормальной сетки нормального распределения - см. п. 1.5.1). В такой форме корреляцию и линейную регрессию рассматриваемых величин лучше всего делать в форме таблицы (табл. 1.24). В результате заполнения табл. 1.24 имеем: эмпирический коэффициент корреляции (1.117)

= W(Mff) = 0,985;

его доверительный интервал, с помощью рнс. 1.31 определяемый лишь приблизительно: [»0,70; 1];

коэффициент регрессии прн нужной регрессии yliht)] по x(Unp,)-см. (1.118)

V = V4 = 0.621 KB-; свободный член -см. (1.120)

аух ==~У - Ьух= -37,38. Это дает прямую регрессии

у= - 37,38 4-0,621х/кВ;

= -37,38 4-0,621апр/кВ

и позволяет вычислить остаточную дисперсию sRxy (табл. 1.24). Далее получаем:

дисперсию постоянного члена - см. (1.124)

4, = 14,26; s,,, = 3.78;

дисперсию коэффициента регрессии - см. (1.125)

4 = 0,0040 кВ- Sft = 0,063 кВ-.

Остается лишь определить доверительные интервалы прн доверительной вероятности е=0,95 с помощью квантиля <з; о,в75 = 3,18 [27, табл. 5]: для свободного члена Oyx - m. (1.126): [-49,39; -25,37];



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [ 26 ] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

0.0008