Главная  Среднее значение величин 

[0] [1] [2] [ 3 ] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

ной частости для вероятности имеет место (см., например, [17-22])

0<Р(Л)</; (1.5)

Р (/)=/; Р(Ф) = 0; Р(1) = /-Р(Л). (1.6)

Далее имеет место правило сложения вероятностей [18, 19,

P{A[)B) = P{A) + P{B)P{Af]B), (1.7)

откуда следует

Р{А[}В)<Р{А) + Р{В),

причем для несовместных событий, когда А и В взаимно исключают друг друга, имеет место равенство. Одновременно с использованным здесь статистическим определением вероятности важную роль играет также «классическое», введенное Лапласом для равновероятных случайных событий (например, при игре в кости) [18, 19, 23, 24].

1.1.3. Условная вероятность и независимые события. Пусть при выполнении случайного опыта наблюдается событие А и одновременно произошло событие В. То, что событие В заведомо произошло, означает некоторую дополнительную информацию относительно исследуемого события А. Целесообразно ввести вероятность того, что событие А произойдет при условии, что имеет место В. Для такой условной вероятности используют обозначение Р(А/В).

Пример 1.5. При испытаниях постоянным напряжением (пример 1.1) событие «непробой» может быть обусловлено некоторыми причинами. Отсутствие пробоя имеет место, если одновременно наблюдаются частичные разряды (Т) и можно установить условную вероятность P{N/T). Для события «отсутствие пробоя» при условии отсутствия частичных разрядов (F) можно ввести условную вероятность PInIF), Естественно, что P(n) = =P(N/T)+P{N/F).

Пример 1.6. Прн изучении вероятности пробоя в случае возникновения электронной лавины, например в однородном поле в газе, в качестве условия следует ввести исходное состояние. Примером может служить вероятность того, что данную точку х в поле достигнет строго определенное число электронов Пк, если в качестве исходного условия используется образование на катоде (х=0) определенного числа начальных электронов По. Это записывают как Р1п{х)>Пк/п{0)=По], причем По=1 [25].

При общих рассуждениях для обозначения вероятности будет использоваться прописная буква, а прн обозначении конкретной величины- строчная.



Условная вероятность А при В определяется как частное от деления вероятностей логического произведения АГ\В и события В:

Р(Л/в) = -И11ЁЬ (1.8)

Р (В)

при P{B)>Q. Аналогично

Р ф1А) = -Ш- (1.9)

при Р(Л)>0. Из выражений (1.8) и (1.9) следует

Р {А{\В) = Р{В)Р (А/В) = Р{Л)Р {В/А) (1.10)

- так называемый закон перемножения вероятностей.

Следствием закона перемножения вероятностей является чрезвычайно важное для дальнейшего рассмотрения свойство- определение независимого случайного события, гласящее: два события являются полностью независимыми, если каждое из них не зависит от условия появления другого:

Р{А/В) = Р(А) и Р{В1А) = Р(В). (1.11)

Для двух независимых событий из выражений (1.10) и (1.11) следует

Р{АПВ) = Р{А)Р{В) (1.12)

- так называемый закон перемножения вероятностей независимых событий.

При допущении внутренней независимости происходящего процесса закон перемножения (1.12) позволяет статистически учесть законы подобия для вероятности пробоя (число или поверхностей, или объемов изоляции, длительность испытаний) (см. главу 5).

Пример 1.7. Для двух изоляторов при испытаниях постоянным напряжением были получены оценки вероятностей пробоя по поверхности pi = 0,45 и р2 = 0,60. Какова вероятность пробоя р, если оба изолятора включены параллельно и разряды на одном изоляторе независимы от разрядов на другом? По определению дополнительного события отсутствие пробоев происходит с вероятностью 1-pi = 0,55 и 1-р2=0,40. Отсутствие пробоя системы двух изоляторов происходит с вероятностью 1-р при отсутствии пробоев на каждом отдельном изоляторе, что с учетом формулы (1.12) означает, что

l-p = (l-pi) (1-р2) = 0,22;

р = 1 - 0,22 = 0,78.

При параллельном соединении вероятность пробоя возросла.

Независимость случайных событий играет особенноважную роль при определении статистических характеристик прежде всего в том случае, если выполняются испытания с большим



числом измерений. Одно произошедшее событие (например, один пробой) может таким образом исказить испытания, что результаты последующих опытов будут испытывать влияние изменившихся условий. Необходимо найти подходящий критерий (см. пп. 2.2.2 и 2.3.2) и использовать его для контроля независимости испытаний (см. п. 1.5.3).

1.1.4. Случайные величины и выборки. Исследование случайных событий часто связано с получением их числовых характеристик. Если фиксировать случайные события с помощью найденных, поддающихся измерению значений, то получается случайная величина. Случайные величины будут обозначаться прописными буквами, например X, Y, Z и т. д. Какую именно величину следует выбрать в качестве случайной характеристики статистического процесса, должно быть решено в зависимости от удобства математической обработки при изменяющихся условиях с учетом физико-технических особенностей объекта.

Пример 1.8. Если изолирующая конструкция подвергается испытаниям плавным подъемом напряжения (см. пример 1.3), то в качестве случайной величины можно использовать значение пробивного напряжения U„p (в киловольтах). Если события рассматриваются с общих физико-технических позиций, то с учетом геометрии поля целесообразно с помощью U пр вычислить случайную величину максимальной пробивной напряженности £пртах (в киловольтах на сантиметр) или электрической прочности Е„р (в киловольтах на сантиметр) (см., например, [25]) н в дальнейшем использовать эту величину. При определенной постановке вопроса, как прн изучении времени жизни, в качестве случайной величины рекомендуется выбирать не пробивное напряжение Unp (в киловольтах), а время, прошедшее до пробоя при заданном уровне напряжения.

При выполнении случайного опыта образуется реализация х случайной величины X. Реализации будут обозначаться строчными буквамиВсе возможные реализации называют генеральной совокупностью, состоящей из конечного или бесконечного числа значений. Если при реализации случайная величина может принимать только определенные фиксированные значения, то говорят, что имеет место дискретная случайная величина. Если, напротив, случайная величина меняется в некотором непрерывном диапазоне, то имеет место непрерывная случайная величина.

Пример 1.9. При испытаниях постоянным напряжением (пример 1.1) прн изучении события (пробоя или непробоя) случайная величина имеет конечную генеральную совокупность; событию, например, можно приписывать значения О или 1. Дискретная случайная величина возникает, напри-

В практике высоковольтной техники часто бывает трудно различить прописные и строчные буквы, обозначающие физические величины, однако эти символы являются традиционными. В дальнейшем изложении поэтому будут использоваться именно такие обозначения.



[0] [1] [2] [ 3 ] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

0.001