Главная  Среднее значение величин 

[0] [1] [2] [3] [ 4 ] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

мер, если нас интересует, при каком числе изоляторов возникнет скользящий разряд за определенное время. Напротив, время до пробоя при испытаниях постоянным напряжением (см. пример 1.2) является непрерывной случайной величиной из бесконечной генеральной совокупности [0<пр<:оо]. Так получается всегда и при испытаниях плавным подъемом напряжения (пример 1.3).

Для анализа случайных событий на практике может быть выполнено лишь ограниченное число опытов и поэтому может быть получено лишь конечное число реализаций. Если эти опыты независимы, то такую серию реализаций лг(г= 1,..., п) называют выборкой объема п.

Пример 1.10. При испытаниях постоянным напряжением (см. примеры 1.1 и 1.2) была получена выборка объемом п. Регистрировались, например, т пробоев (m<:n), которым приписывалось значение 1, и п-т непробоев, обозначавшихся как 0. Для оценки используется относительная частость, как в примере 1.1. При испытаниях плавным подъемом напряжения (пример 1.3) получена выборка объемом п т п значений пробивного напряжения i/npi(i= = 1, 2,..., п). В обоих случаях речь идет о конкретных выборках объемом п.

Пример показывает, что для вынесения заключений относительно вероятностей на основе генеральной совокупности необходима математическая обработка выборки. Вспомогательным средством при такой обработке являются функции выборки (например, известные формулы для среднего арифметического, дисперсии и т. д. приведены в п. 1.2.3 и § 1.5), которые могут быть получены с помощью «математической выборки» [17-22]. Математическая выборка объема п состоит из п независимых одинаково распределенных случайных величин (о функции распределения см. в п. 1.2.1). Рассматриваемая здесь конкретная выборка возникает как реализация математической выборки.

Основной задачей предлагаемой книги является пояснение того, как именно наиболее удобно планировать и обрабатывать конкретную выборку применительно к высоковольтной технике. Необходимая для этого функция выборки будет введена в § 1.2-1.5.

1.2. Функция распределения

1.2.1. Определение и свойства. Закон распределения случайной величины удобно описывать с помощью соответствующей функции распределения. Пусть рассматривается событие Ах = Х<х и его вероятность Р{Ах)=Р{Х<х) для известной числовой величины х. Функция распределения определяется как

(д:) = Р(Х<л:). (1.13)

Функция распределения в точке х показывает, с какой вероятностью случайная величина X принимает значение меньше



уровня X. функция распределения обладает следующими основными свойствами:

1. Вследствие допустимого диапазона изменения вероятности (1.5) для функции распределения имеется следующий диапазон изменения:

О < f (л:) < 1.

(1.14)

2. Функция распределения монотонно возрастает (не убывает)

F (Xi) < F (дгг) для < дгг. (1.15)

3. Граничные значения

lim F{x)F{- оо) = 0; *->-«)

lim F(a:) = F( + oo)=1.

(1.16)

(1.17)

4. Каждая определенная по формуле (1.13) функция распределения непрерывна слева.

Каждая функция, обладающая описанными четырьмя Р(Х<х) свойствами, может рассмат-

риваться как функция распределения некоторой случайной величины и характеризоваться выражением (1.13). Поскольку в теоретических и практических действиях используются лишь определенные функции распределения, большинство возможных функций распределения будет изучено в дальнейшем (см. § 1.3). Целесообразно установить различия 5) 1Р(Х=х) между функциями распреде-

ления дискретной и непрерыв-

ной случайной величины. Функция распределения

г-"

г- 1

«««

.....1 J

6 8 10

Т т

6 8 10

(012456789 10\

Рис. 1.2. Функция распределения дискретной случайной величины: а - ступенчатая функция распределения (суммарная вероятность) Р(Х<х); б - дискретная плотность функции распределения (отдельные вероятности Р(Х=х); б -таблица вероятностей



дискретной случайной величины (рис. 1.2, а) описывается выражением

F{x) = P{X<:x)= 5 Р(Х=.хО= X Pi, (1.18)

< X Х < X

причем Xi являются дискретными величинами, заданными случайной величиной X, Pi - соответствующие им начальные вероятности. Если генеральная выборка конечна, то

а если бесконечна, то

Помимо дискретной функции распределения дискретную случайную величину можно охарактеризовать также вероятностями

/(х) = Р(х=хо=л 0•l)

(рис. 1.2, б), играющими роль дискретной плотности распределения вероятностей. Дискретную случайную величину удобно описывать с помощью таблицы вероятностей

Г Xi Xi Хз . . . \ \ Pi Pi Рз . . . )

X . .

Рх Pi Рз

в которой дискретные значения х,- сопоставлены с вероятностями Pi = P{X=Xi) (рис. 1.2, в) или с суммарными вероятностями PiX<Xi). Для дискретных случайных величин часто бывает удобнее в расчетах использовать не функцию распределения (1.18), а непосредственно имеющиеся в распоряжении вероятности р;.

Наиболее информативными характеристиками, помимо функции распределения, являются математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины X задается с помощью

Vi=EX=ZxiPi, (1.20)

Если функции распределения приписать общую массу Л1=1, то математическое ожидание покажет центр тяжести распределения масс.



[0] [1] [2] [3] [ 4 ] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

0.0009