Главная  Среднее значение величин 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

Таблица 1.1

Операция

Исходная величина

Функция

функция распределения F{y) и функция плотности вероятности f (у)

Линейное преобразование

X; F(x); fix); а, Ь-константы, а>0

K=aX-f6

\ а J \а\

Сложение

Х; h(x,)

K=Xi+X2

-foo

X h(y - xi) dxi (интеграл свертки)

Умножение

Хг, h{x,);

K=XiX2

Деление

Xi-, h{x,y, Хг; /2(2)

/(y) = J /i(!yxi)/2(xi)X Xlil dxi

Вычитание

Xi; h{x,); X2; /2(2)

r=Xi-X2

f(y)= J /i(xi) X

X /2 {xi - y) dxi (интеграл свертки)

Возведение в квадрат

X; fM

K=X2

Г(у) = -1-1М-у) +

+ л/у)]

Произвольная функция

X; tx(x)

К=Ф(Х)

(г/) = /Лф-Ч«/)1х d<f-(y)



ностью характеризуются своими параметрами [17]. Формулы для расчета их моментов по заданным параметрам хорошо известны, при нормальном распределении параметрами являются математическое ожидание и дисперсия. С помощью моментов удобно сравнивать различно распределенные случайные величины (например, нормально распределенное и распределенное по закону Вейбулла время до пробоя). Теоретические функции распределения записываются в общей (стандартизованной) форме. Существует много распределений, возникающих при экспериментальных исследованиях и описываемых такими теоретическими функциями распределения.

Возникающие в результате эксперимента выборки прежде всего задают эмпирическую функцию распределения, т. е. определяют взаимосвязь между отдельными реализациями и вероятностью их появления в соответствии с формулой (1.13). При этом эмпирическую функцию представляют в виде таблицы или графически как полигон (см. п. 1.2.2). Для удобства дальнейшей обработки следует, однако, позаботиться об аппроксимации эмпирической функции распределения какой-либо имеющейся параметрической теоретической функцией распределения. Для этого необходимо оценить параметры этой теоретической функции на основании имеющейся реализации (см. п. 1.2.3). При аппроксимации используется произвольное теоретическое распределение как подходящее для, вообще говоря, неизвестного закона распределения исследуемой случайной величины. Поскольку параметры являются уже более или менее оцененными величинами, в результате аппроксимации остается установить эмпирический характер функции распределения.

1.2.2, Эмпирическая функция распределения и ее изображение. При случайных опытах получают выборку объемом п. Реализации регистрируются в порядке их появления и записываются в форме протокола для дальнейшей статистической обработки.

Пример 1.12. В системе коаксиальных цилиндров в элегазе измеряется пробивное напряжение в опытах с плавным увеличением напряжения (пример 1.3). Оцениваемая выборка объемом n = 24 имеет следующую последовательность значений напряжения пробоя (в киловольтах): {7пр = 210; 208; 208; 175; 182; 206; 190; 194; 198; 205; 212; 200; 205; 202; 207; 210; 202; 201; 188; 205; 209; 201; 216; 196.

С помощью протокола можно получить таблицу первичной обработки: все значения Xh между наименьшей Xmin и наибольшей Xjnax реализациями записываются по ступеням с наименьшей кажущейся подходящей или просто произвольно выбранной величиной ступени. Все значения упорядочиваются в табл. 1.2, где указаны абсолютная частость hmh {Xi=Xh), относительная частость

Л, = А„,/(п+1) (1.35)



и относительная суммарная частость

л,,=е (1.36

в отличие от формулы (1.1) в (1.35) используется объем выборки не п, а гЪ+1. Это особенно существенно при малых объемах выборки п, причем все реализации могут использоваться для оценок с помощью вероятностной сетки (см. п. 1.5.1).

Таблица 1.2

Частость

Частость

Д : 1

Протокол

в; к к р се со

С п И

С 5

Протокол

S:-1.

реализаций

реализаций

а ил: о

а* к к

n .

О X X

со ЬЙО .

о а: з:

0,04

0,04

0,04

0,24

0,04

0,24

0,04

0,04

0,28

0,04

0,28

0,04

0,04

0,32

0,04

0,08

0,40

0,04

0,08

0,48

0,04

0,08

0,48

0,08

0,48

0,08

+ + +

0,12

0,60

0,08

0,04

0,64

0,08

0,04

0,68

0,08

+ -f

0,08

0,76

0,04

0,12

0,04

0,80

0,12

0,08

0,88

0,04

0,16

0,88

0,16

0,04

0,92

0,16

0,92

0,16

0,92

0,04

0,20

0,92

0,20

0,04

0,96

При увеличении п относительная частость в соответствии с уравнением (2.35) совпадает с полученной по формуле (1.1); при /г>50 можно использовать только п.

Пример 1.13. В соответствии с табл. 1.1 напряжения Lnpmin = 175 кВ, t/npmax = 216 кВ. Наименьшая подходящая величина ступени Д/=1 кВ (например, Af7=240 ... 209 кВ). В таблице первичной обработки для значений между 175 кВ и 216 кВ указываются не только абсолютная и относительная частость, ио и суммарная частость.

Для уменьшения объема записи в таблице первичной обработки могут быть представлены только реализованные вели-



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

0.0009