Прежде чем переходить к интегрированию, следует преобразовать формулу (5.7) для дискретного элемента

lnll-FAx)] = lnU.[lFu{x)]=t ln[l-Fi,(x)]. (5.9)

где n=VnTn/{ViTi).

При переходе к бесконечно малому элементу dudt имеет место Fii{x)-*-F{Xe; а; Р), а переходящее в интегрирование суммирование в уравнении (5.9) дает обобщенный закон преобразования масштабов

ln[l~-F,,{x)] = f fln[l-F{x/, а; fi)]dvdt; (5.10)

F„(x)=l-ехр

.(5.11)

J- [ [ln[l-F{x,; a; fi)]dvdt

Это, no необходимости, несколько абстрактное изображение закона преобразования масштаба для изоляции с протяженной структурой будет пояснено при изучении влияния поверхности (§ 5.5), объема (§ 5.6) и времени (§ 5.7).

5.3. Применение теоретических функций распределения

Выраженные уравнениями (5.4) и (5.7) общие закономерности должны использоваться лишь по отношению к выбранным теоретическим функциям распределения. Прежде всего интересным является основное различие, возникающее при применении закона преобразования масштаба к различным типам распределений: если приводящий к пробою процесс описывается не случайным, а детерминированным, так называемым одноступенчатым, распределением, то нет и никакого влияния изменения масштаба (рис. 5.2, а). Детерминированная величина пригодна для любых размеров рассматриваемого промежутка.

Для функции распределения Fi{x), ограниченной снизу (нижняя граница хо -например, логарифмически-нормальное распределение, или распределение Вейбулла), при масштабе преобразования п-оо функция распределения превращается в одноступенчатое распределение, т. е. соответствует Xq (рис. 5.2, б). Начальная величина имеет первостепенное значение, так как отмечает точку, ниже которой в изоляции произвольной величины пробоя быть не может. Если по какой-либо выборке Хо оценено неверно -слишком высоко, то могут возникнуть существенные технические последствия.

Не ограниченная снизу функция распределения Ft (х) (например, нормальное распределение, двойное экспоненциальное распределение) превращается при п-<х> в функцию Fnix)-*-! (рис. 5.2, в). Поскольку в технике масштабные коэффициенты

Рис. 5.2. Действие закона преобразования масштаба на распределения различных типов (схема): а - причинное (вырожденное) распределение; б - функция распределения с нижней границей; в - функция распределения

с верхней границей Штриховые кривые - штрих-

пуиктирные кривые - f (*)„ ioo <="0"-ные кривые - f(x) .j~fo(.«)

п> 10* возникают редко, этот предельный случай не представляет интереса. Разумеется, при использовании закона преобразования масштаба с большими масштабными коэффициентами по отношению к неограниченным распределениям существует опасность, что будут получены излишне пессимистические или даже лишенные физического смысла распределения (например, с «отрицательным» математическим ожиданием).

Экстремальные распределения (см. п. 1.3.2) обладают математическими выражениями, инвариантными по отношению к закону преобразования масштабов. Если при экстремальном распределении при идентичных элементах используется закон преобразования, то тип распределения остается неизменным, а меняются лишь параметры распределения. Если закон преобразования применен при другом типе распределения, то при изменении масштаба меняется и тип распределения.

Двойное экспоненциальное распределение.

Поскольку двойное экспоненциальное распределение [см. уравнение (2.94)]

{х) - 1 -ехр [ -ехр dx-xi ез)/?)]

переходит в идентичную форму при применении закона преобразования масштаба, то получается

F„(x)= 1~-ехр ~ехр(

* - (les - viM.

(5.12) 263

0,90

0,70 0,50

0,30

0,10 0,05

0,05

0,001

Рис. 5.3. Преобразование масштаба при двойном экспоненциальном распределении (вероятностная сетка двойного экспоненциального распределения)

где JCi 63 и Y - параметры исходного распределения, а п-масштабный коэффициент. При изменении масштаба меняется лишь математическое ожидание распределения

(5.13)

в то время как мера разброса Yi=Yn = Y остается неизменной. На вероятностной сетке функции распределения, получающиеся из стандартизованного двойного экспоненциального распределения (л;1бз=0; у=\, табл. 1.17), проходят параллельно исходной функции Fi{x) (рис. 5.3). Изменение приведенного значения математического ожидания при изменении масштаба (5.13) наглядно представлено на рис. 5.4.

Если параллельно включены п элементов, случайные характеристики которых обладают двойным экспоненциальным распределением с различными параметрами (хцг; уп), то исполь-