Главная  Среднее значение величин 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

размечена после обращения соответствующей функции распределения. Если рассматриваемая эмпирическая функция распределения совпадает по типу с теоретической, то на вероятност-

Таблица 1.5

Форма изображения

Способ получения изображения с помощью таблнцн частостей (табл. 1.3)

Пример изображения

Гистограмма (ступенчатая кривая)

Относительные частости hild из каждого класса изображаются прямоугольниками (d - ширина класса)


х=и,

пр

175 185 195 205 215 кВ

Полигон частости

Относительные частости hild нанесены точками в центре интервала и соединены ломаной линией

lVI

t-1 i

175 185 195 205 215 кВ

Кривая частости

Относительные частости hild нанесены так же, как при построении полигона, и по ним проводят плавную кривую. Проведение кривой упрош,ается при использовании вероятностной сетки (например, при отказе от опорных точек)

ЪА

1-1

175 185 195 205 215 кВ

ной сетке она будет прямой линией. Использование вероятностной сетки описано в п. 1.5.1.

Для изображения эмпирической функции распределения следует исходить из таблицы частостей (табл. 1.3), поскольку таблица первичной обработки (табл. 1.2) чаще всего заполнена недостаточно плотно. Эмпирическая функция плотности вероятности может быть изображена в виде гистограммы (ступенчатой кривой), полигона частости или кривой частости в соответствии с табл. 1.5. Следует отметить, что число интервалов и их ширина d вместе с начальным значением Х\п влияют



еще сильнее на функцию плотности, нежели на функцию распределения (рис. 1.4). Изображение не лишено элемента произвольности. Здесь также удобно пользоваться вероятностной сеткой (см. п. 1.5.1).

1.2.3. Оценка параметров. При описании функций распределения целесообразно использовать параметры, наиболее интересные для всех функций распределения: математическое ожидание, дисперсию, квантили, среднее значение и т. д. (о функциональных параметрах см. в работе [26]), и такие, которые имеются в формулах теоретической функции распределения (параметры распределения описаны в работе [26]). Естественно, что между этими двумя группами параметров имеется тесная взаимосвязь; однако функциональные параметры изображаются чаще в виде функции распределения параметров и иногда даже идентифицируются с ними.

В качестве функциональных параметров можно взять теоретические значения математического ожидания, дисперсии и квантилей (см. п. 1.2.1). Если они должны быть определены эмпирически по выборке, то отдельные реализации следует математически преобразовать в функцию выборки. Одной из таких функций выборки является эмпирический момент -го порядка относительно Q

т, = -у (х,-а)*, =1, 2, 3, ... , (1.40) « 1

с помощью которого могут быть заданы важнейшие функциональные параметры.

В качестве среднего значения могут быть приняты следующие функции выборки:

1. Среднее арифметическое (также среднее выборочное) - эмпирический момент при k=l и а=0

i = -(1.41)

и одновременно оценка математического ожидания.

При выделении отдельных интервалов выражение (1.41) может быть также записано

x = -yhi cpXi CP = У hixi ср, (1.42)

" /=1 t=

где Xicp - центр интервала; Л(ср и Л/ - абсолютная и относительная частость интервала. Поскольку большинство мини-ЭВМ обладают программами для вычисления х, уравнение (1.42) и подобные простые формулы (вычисления произведений, сумм



[18]) используются лишь в особых случаях. Среднее арифметическое ввиду его свойства давать оценку математического ожидания имеет особо важное значение.

Мода X - это квантиль, соответствующий максимальному значению функции плотности вероятности. Ее можно оценить также по выборке с помощью табл. 1.5 по формуле

х = х.+(-ср«-/1ср(«-1)-(143)

V 2ftcp и - hep (u-i) - hep (н+1) /

где - нижняя граница наиболее заполненного интервала; hcpu - соответствующая абсолютная частость; Лср(и-i) и /icp(u+i) - абсолютные частости в соседних интервалах; (/ - ширина интервалов. Для некоторых распределений мода является также параметром распределения (например, в двойном экспоненциальном распределении, см. п. 1.3.2) и поэтому представляет практический интерес. 2. Среднее геометрическое

п г п

у 1=1

(1.44)

которое в практике измерений удобно вычислять по формуле

]gx = -LjlgXi, (1.45)

" 1=1

играет заметную роль в статистике экономики; его применение в высоковольтной технике неизвестно. 3. Среднее гармоническое

x = n/Z~ (1.46)

1=1 Xi

используется, если по полученным данным должно быть определено среднее значение, например среднее значение скорости или плотности на интервале. (Если путь АВ пройден со скоростью Oi = 30 км/ч и обратный путь В А со скоростью «2 = = 60 км/ч, то средняя скорость в соответствии с выражением (2.46) будет и = 40 км/ч.)

В качестве меры разброса находят применение следующие функции выборок:

1. Разброс (размах) выборки (1.38)

охватывает все измеренные величины и при весьма малом объеме выборки (примерно п<5) дает необходимую меру разброса. Величина R связана со средним квадратическим откло-



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8 ] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101]

0.001