иением s (см. ниже) прн среднем объеме выборки (10;п: 100) соотношением 7?» 4 s.

Соответственно интервал квантилей

1=Хрх,, (1,47)

например ho=x+-XxQ, является аналогом размаха выборки как разность двух избранных эмпирических квантилей. Эмпирическое среднее квадратическое отклонение s можно оценить с помощью интервала квантилей: s=h<y-i6=XbQ-х. Другие параметры распределения также могут быть выражены через интервал квантилей, т. е. через определенные квантили.

2. Среднее квадратическое отклонение (эмпирическое стандартное отклонение)-это корень квадратный из эмпирического момента при k = 2 и а=х (эмпирической дисперсии):

в отличие от математического ожидания вместо объема выборки п используется уменьшенная величина (п-1). При дроблении иа интервалы в соответствии с обозначениями (1.42)

(1.49)

Как правило, в настоящее время от использования этого выражения и других, упрощенных выражений [18] отказываются, поскольку S легко определяется с помощью мини-ЭВМ. Как и среднему арифметическому х, при изучении выборки среднему квадратическому отклонению s придают основополагающее значение.

Часто соотношение между изменением случайной величины и ее средним значением представляет значительно больший интерес, чем сами функциональные параметры. Отношение

v = slx (1.50)

называют коэффициентом вариации и используют как наглядную меру относительного отклонения случайной величины.

С помощью коэффициента вариации удобно выполнять сравнение различных случайных величин.

пример 1.15. Для выборки из примера 1.12 можно установить следующие функциональные параметры:

среднее арифметическое л;=201,25 кВ-(1.41);

центр распределения (медиана) х=203,5 кВ; мода (центр плотности) х= 204,5

(1.43);

20 - 5 - 2 J

кВ = 206.8 кВ -

Рис. 1.5. Определение функциональных параметров для выборки из примера 1.12

Расшифровка символов приведена в примере 1.15; светлыми точками указаны реализации из первичной таблицы распределения (табл. 1.2, полигон суммарных частостей)

среднее геометрическое (практически не представляющее интереса) х = = 201,02 кВ-( 1.44);

среднее гармоническое х200,77 кВ-(1.46);

размах выборки /?=216-175=41 кВ;

интервал квантилей /=212-188=24 кВ-(1.47);

среднее квадратическое отклонение s=9,76 кВ-(1.48);

коэффициент вариации f=9,76/201,25=0,0485-(1.50).

Некоторые из них представлены на рис. 1.5.

Поскольку для оценки функциональных параметров используется функция выборки, которая обсуждается вместе с некоторыми теоретическими функциями распределения ниже (см. § 1.3), в данном разделе она дана лишь в общем виде. Оценка может быть прежде всего точечной, когда нужный параметр оценивается по одному дискретному числовому значению. При получении точечной оценки оцениваемый параметр выражают с помощью теоретических моментов или квантилей. Далее тео-

п=100

Рис. 1.6. Доверительные интервалы для среднего арифметического значения

101 102 103 104 105 кВ

ретический момент или квантиль оценивают с помощью соответствующего эмпирического момента или квантиля (см. п. 1.2.1), получая таким образом искомую точечную оценку (метод моментов или квантилей) [18, 19, 22]. Кроме того, для выполнения точечной оценки можно использовать методику «максимального правдоподобия» [17, 21, 22, 24, 26]. При всех возможных способах получения параметров от каждого из них требуют максимальной вероятности (правдоподобия) при данной выборке.

Точечные оценки имеют то преимущество, что они дают конкретное числовое значение, и тот недостаток, что никто не знает, насколько оно достоверно. Неизвестное «истинное» значение параметра может оказаться далеким от выполненной оценки. Никак не проявляется в результате сделанной оценки также и объем выборки, который существенно влияет на точность оценок такого рода.

При методе доверительных интервалов определяется интервал (доверительный диапазон, интервал доверия) с нижней и верхней границами / [gi, g], который содержит в себе неизвестный параметр (конкретное значение!) с определенной заданной статистической надежностью е (доверительный уровень вероятности). Доверительная оценка обусловлена точечной оценкой. Например, для параметра у записывают

Р{йи < у <Ы = Е = 1а,

(1.51)

причем а является дополнительной величиной к е и называется вероятностью ошибки.

Ширина доверительного интервала зависит от желаемой статистической надежности е, объема выборки п и от распределения случайных значений, в особенности от разброса. Длина и ширина доверительных интервалов определяется также имеющейся (случайной) выборкой. Рисунок 1.6 поясняет это на примере десяти доверительных интервалов для среднего арифметического (как параметра нормального распределения, см. п. 2.3.2), вычисленных на основе десяти имеющихся выборок