Гл. г. Основы

то через д: будем обозначать вектор-строку, компоненты которой упорядочены в соответствии с общепринятым правилом чтения слева направо:

х=(х„ X......х„).

2.2.1.3. Матрицы. Переход от одной скалярной величины к упорядоченному списку таких величин отражается понятием «вектор». Еще один шаг обобщения в том же направлеиин приводит к понятию «матрица». Это - результат двойного упорядочения набора чисел.

Как и в случае с векторами, обычная форма записи матриц опирается на стандартный порядок чтения текстов - сверху вниз и слева направо; двум направлениям записи элементов отвечают два типа их упорядочения. «Первый» элемент матрицы располагается в верхнем левом углу записи. «Первый» тип упорядочения соответствует записи сверху вниз и выделяет «строки» матрицы, в каждой из которых содержится одно и то же количество скалярных элементов. Число строк называют строковой размерностью. «Второй» тип упорядочения отвечает правилу чтения слева направо и выделяет столбцы матрицы. Их число называется столбцовой размерностью. Если количество строк и столбцов одинаково, говорят, что матрица является квадратной.

Матрнху,! впредь будут обозначаться заглавными латинскийн буквами (т. е. А, В, . .., W). Ссылку на одиночный элемент матрицы принято задавать ее именем (соответствующей малой или заглавной буквой) с двумя нижними индексами, первый из которых есть индекс строки, а второй - столбца. Таким образом, через А ц или ац обозначают элемент, стоящий в матрице А на пересечении строки i и столбца ;.

Приведенные определения иллюстрируются следующей записью матрицы с тремя строками и двумя столбцами:

2.2. Введение в вычислительную линейную aize6py

Вектор-столбец мы теперь можем рассматривать как частный случай матрицы со столбцовой размерностью, равной единице. Все элементы такой матрицы имеют один и тот же единичный второй индекс, поэтому его можно отбросить.

Равенство между двумя матрицами означает равенство между любыми нх соответственными элементами. Оно предполагает совпадения строковых и столбцовых размерностей сравниваемых матриц.

Транспонированной называют матрицу, которая получится из исходной, если столбцовые и строковые индексы поменять ролями. Матрица, транспонированная к А, обозначается через А н опреде-пяется следующим равенством: {A)iiAi,. Например, транспони-

рование матрицы

дает матрицу

Матрицу называют симметричной, если А=А. Это означает, во-первых, что А - квадратная матрица и, во-вторых, что при всех I и / выполняется равенство Оиа.

Элементы ац матрицы А называются диагональными, а все остальные элементы - енедиагональныии. Элементы а, для которых i>i, принято называть наддиагональными, а те, для которых /"<1,- поддиагональными.

2.2.1.4. Операции над векторами и матрицами. Подобно тому как векторы и матрицы представляют собой упорядоченные совокупности скалярных величин, операции над векторами и матрицами являются упорядоченными совокупностями скалярных операций.

Простейшая операция - умножение матрицы (или вектора) на число. Ее результат есть матрица (или вектор), элементы которой равны произведениям этого числа на соответствующие элементы исходной матрицы (или вектора). Таким образом,

/хД /ах,

ах, ; \x,/

Следующая операция - сложение двух матриц или векторов. Она опирается на обычную операцию скалярного сложения. Определение таково: элементами суммы двух матриц (векторов) являются суммы соответственных элементов слагаемых. Это определение подразумевает совпадение размерностей суммируемых матриц (векторов). Следующий пример иллюстрирует смысл операции сложения в векторном случае:

/ал \a,J

щ+ьЛ.

a,+bj

Матрица или вектор, все элементы которых нулевые, играют во вновь введенной операции сложения ту же роль, что и нуль в скалярном суммировании: сложение произвольной матрицы (вектора) с нулевой сохраняет ее неизменной. Нулевые матрицы и векторы принято обозначать Стандартным символом 0. Их размерности всегда определяются нз нонтекста.

Легко убедиться, что сложение мзтриц (векторов) обладает теми же свойствами, что и сложение скаляров, а именно ассоциативность: A+(B+Q(A+B)+C; коммутативность: А+В=В+А.

Для двух векторов о и Ь одинаковой размерности п вводят понятие скалярное произведение, величина которого у определяется равенством

V = о,Ь, +ajb,-\-...-\- u„b„ = 2 аЛ-

Впредь мы будем обозначать его через аЬ. Отметим, что при подсчете скалярного произведения компоненты векторов перемножаются в соответствии с их упорядочением. В операции вычисления скалярного произведения сохраняются два следующих свойства скалярного умножения:

коммутативность: аЬ-Ьа;

дистрибутивность по векторному сложению: a{b-\-c)=ab+ +аТс.

Хотя скалярное произведение иа первый взгляд аналогично простому произведению двух чисел, между ними есть принципиальное отличке, о котором следует сказать особо. Оно состоит в том, что скалярное произведение двух ненулевых векторов может быть нулем, в то время как перемножение двух ненулевых чисел всегда дает ненулевой результат. Натфимер, для

/ 1\ /IN

b = f -1

Когда о-Ь=0, говорет, что векторы а и b ортогональны друг другу Заметим также, что из равенсгва ас-ЬЧ в общем случае не 2едует равенство а=Ь. В этом легко убедиться на тройке векторов.

•ч;). "О

Однако некая связь между а, b н с все же есть: в силу свойства дистрибутивности можно утверждать, что (а-ЬУс=, т. е. разность Q-tj ортогональна с. „

Понятие ортогональности позволяет определить нулевой век-TOD как вектор, ортогональный всем векторам.

Обобщением операции взятия скалярного пронзведення векто-пов является операция перемножения матрицы. Произведение с Са?рицы А на В определяется как матрица (Г. /);" элемент которти есть скалярное произведение i-й строки А на ;-и столбец В. Это

определение имеет сшсл, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В: только в этом случае можно говорить о соответствующих скалярных произведениях. Строковая размерность С совпадает со строковой размерностью Л, а ее столбцовая размерность будет равна столбцовой размерности В.

Обозначив через af i-ю строку матрицы А, а через bj /-Й столбец В, произведение А на В можно записать так;

(а;Ь, alb.

С = АВ =

(ЬЛ---) =

Например, для

получим

G J)- «-(o I)

Важно отметить явную несимметричность определения произведения матриц по отношению к строкам и столбцам сомножителей. Именно в силу этой иесимнетрнчности порядок сомножителей становится существенным.

В матричном произведении АВ матрицу А называют левым множителем В к говорят об умножении В «в А слева. В результате такого умножения столбцы В преобразуются независимо - каждый столбец В определяет соответствующий столбец произведения, так что, например, изменение первого столбца В приведет к изменению только первого столбца АВ. Аналогично матрицу В называют правым сомножителем А и говорят об умножении А кз В справа. Прн умножении справа независимо преобразуются строки умножаемой матрицы. iBK что изменение в i-й строке А повлечет за собой изменение только в i-й строке АВ.

Операция матричного умножения обладает следующими свойствами;

ассоциативность: (АВ)С=А (ВС); дистрибутивность по матричному сложению:

А (В+С)=АВ+АС.

При этом в силу упомянутой выше асимметрии матричное умножение в общем случае не коммутативно. Даже для квадратных матриц (единственный случай, когда определены оба произведения АВ и ВА), вообще говоря, будет АВфВА. Еще одно свойство матричного умножения состоит в том, что (АВ)=ВА.

Определенное ранее скалярное произведение можно рассматривать как частный случай матричного произведения, когда матрица.

состоящая из одной строки, умножается справа на матрицу, состоящую из одного столбца. Следующий частный случай - произведение матрицы на вектор, т. е. перемножение двух матриц, вторая из которых состоит из единственного столбца. Такое произведение определено для матрицы А и вектора х, если размерность х совпадает с числом столбцов А.

Особую роль в операции умножения Ифают так называемые единичные матрицы. Единичная матрица порядка п, которую принято обозначать через /,„ есть квадратная матрица вида

/10 0-00 0 10.00

0 0 1.00

о о о о

1 D о 1.

Ее свойства подобны свойствам числа 1 в скалярном умножении. Если Л есть mxn-матрица, то Л1„=А и 1„,А=А. Когда размерность единичной матрицы ясна из контекста, указывающий ее ниж-HHfi индекс часто опускают. Столбец единичной матрицы с номером i обычно обозначается через С;.

2.2.1.5, Матрицы специальной структуры. В этом разделе будут выделены некоторые особые типы матриц с характерными распределениями нулевых элементов или наличием специфичных связей между элементами.

Матрицу называют диагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю. Такие матрицы обычно обозначаются буквой D; например,

2 О О, D= О -i- О V О О I/

Диагональную матрицу удобно задавать списком ее диагональных элементов. Для этого используется следующая форма записи: D = = cliag(d„ dz, ... , d„).

Квадратная матрица называется верхней (или правой) треугольной, если все ее поддиагональные элементы - нули, т. е.

Oij=0, если 1>/. Верхние треугольные матрицы обычно обозначают буквами R или U; например,

/1 2 4N Я= О -7 1

\0 О 3j

Если речь идет о матрице, удовлетворяющей условию (2.9) и имеющей больше столбцов, чем строк, говорят, что она является верхней трапециевидной. Это - матрица типа

Т„ О -3 5 \0 О I

Ана,чогично вводятся понятия нижняя треугольная и нижняя трапециевидная матрицы. Это - матрицы, элемент которых /ij=0, если 1</. Нижнюю треугольную матрицу обычно обозначают через L. Квадратную треугольную матрицу (верхнюю или нижнюю) называют единичной треугольной, если все ее диагональные элементы равны единице.

Набор векторов .....q] называется ортогональным, если

qlq,=0, 1ф]. При соблюдении дополнительного равенства qjqt=\ говорят, что векторы ортонормольны. Квадратную матрицу называют ортогональной (ортонормальной), если ее столбцы ортогональны (ортонормальны). Лчя ортонормальной матрицы Q={q,, q, ... ..., q„) по определению выполнено равенство QQI.

Матрица вида uv, те и к v ~ векторы, называется матрицей ранга один. Каждый столбец матрицы uv пропорционален вектору и, а каждая ее строка - вектору о. Специальный выбор векторов UHV приводит к специальным матрицам ранга один. Например, еслн v=ei (1-й столбец единичной матрицы), то все столбцы произведения uv, за исключением i-ro, будут нулевыми, а i-й столбец совпадет с вектором и. Матрицы вида 1+a.uv, где а - число, принято называть элементарными.

2.2.2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

В этом разделе нижний индекс у буквы, обозначающей вектор, используется для ссылки на определенный э.чемент некоторого набора векторов.

2.2.2.1. Линейные комбинации. Имея набор, состоящий нз k векторов {oi, Oj.....Oft}, и набор изчисел {а,, а.,, .. ., а}, можно составить линейную комбинацию векторов {о;) с коэффициентами {«; }. Для этого надо 1-й вектор умножить на (-Й скаляр и все полученные таким образом произведения сложить, т. е. линейной комбинацией векторов (а,} с коэффициентами {а,} называется вектор Ь. определенный равенством

6=a,o,-f-aj,Oj-b, . ,-ЬаьОь. (2.10)

Процедура формирования линейной комбинации выполняется над упорядоченными наборами векторов и чисел, что наводит на мысль представить ее в виде матрнчно-векторной операции. Действительно, эта процедура есть не что иное, как умножение

2 2984