чения их параметров и величины допусков. На основе этих данных составляется математическая модель схемы, т. е. описывающая схему система уравнений в той или иной форме.

Задачи анализа и. оптимизации определяются программой, вводимой в машину. Программа может быть автоматической или полуавтоматической; в первом случае ЦВМ используется и для составления уравнений схемы, и для их решения, во втором - только для решения.

П.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОМПОНЕНТОВ

Математическая модель компонента-транзистора, диода, конденсатора и т. д. - устанавливает связь между его токами, напряжениями и параметрами (входными и выходными сопротивлениями, коэффициентами усиления и т. п.).

Математическую модель компонента можно задать (или получить) аналитически (в виде системы уравнений) или графически (например, в виде вольтамперной характеристики), или в виде таблицы (полученной, например, в результате экспериментального исследования компонента), или, наконец, в виде подпрограммы для реализации на ЦВМ.

Использование математической модели, известной в любой форме, для расчетов на ЦВМ предполагает ее представление в форме расчетного алгоритма, т. е. в форме цифровой модели (ЦМ). При этом важно, чтобы ЦМ компонентов была по возможности проста (с целью сокращения затрат машинного времени, необходимого- для расчета) и хорошо обусловленна, кроме того, желательно, чтобы модель была непрерывной (т. е. чтобы одну и ту же модель можно было использовать для расчета различных режимов работы компонентов).

Для построения математических моделей компонентов обычно используются их эквивалентныесхемы; сложность этих схем зависит от необходимой точности расчета. Так, эквивалентная схема резистора может содержать только его активное сопротивление R; но во многих случаях (например, при расчете интегральных схем) необходимо учитывать и паразитные параметры резистора - его емкость и индуктивность.

Независимо от степени сложности эквивалентных схем линейных пассивных компонентов (резисторов, конденсаторов и т. п.) методика составления их математических моделей - системы уравнений Кирхгофа в той или иной форме - очевидна.

Рассмотрим примеры составления математических моделей нелинейных компонентов - диодов и транзисторов. Одним из методов описания процессов в этих компонентах является исполь зование уравнений Эберса - Молла. Вольтамперная характеристика р-/г-перехода описывается уравнением

/ = /до(е""-1), (П.2)

где ы -напряжение на переходе, /до - тепловой ток, фт - температурный потенциал.

С учетом падения напряжения на объемном сопротивлении базы (и== Un - 1дГб) и тока утечки (при обратном смещении диода) уравнение диода принимает вид

д = /до

I / "д - дб

(П.З)

Это уравнение представляет собой статическую математическую модель диода, используемую при расчете статических ре-Жимов. Модель (П.З) можно и далее усложнить, например, за счет учета дрейфового тока дР10да, возможности пробоя обратно смещенного диода и т. д.

Динамическая модель диода, используемая для исследования переходных процессов, отличается от статической учетом емкости перехода С, включающей барьерную и диффузионную составляющие. Согласно эквивалентной схеме (рис. П.1 а) можно записать математическую модель диода в виде системы уравнений:

/д = 1 + -р-+/с; с = С

du St

(П.4)

где i определяется фтлой (П.2).

Аналогично уравнения Эберса - Молла (2.39) представляют статическую модель идеализированного биполярного транзистора. Для реального транзисто-

-+-о

Нелжйн. Щтлтн,

Рис. П.1

ра могут быть учтены а) объемные сопротивления базы, эмиттера, коллек-тора (см. эквивалентные схемы транзистора на д рис. 2.14). Для расчета переходных процессов в биполярном транзисторе можно использовать модель Эберса -Молла, в которой учитываются барьерные и диффузионные емкости переходов, или модель, основанную на использовании метода заряда (см. ур-ние 2.49).

При расчете интегральных схем часто используются модели Линвилла [23]. Ур-ния (2.175-2.176) являются базовыми для записи математической модели полевого транзистора.

Заметим, что для расчета на ЦВМ, в связи с используемыми при этом численными методами, удобно представить уравнение компонента относительно напряжений на емкостях (или токов в

индуктивностях) в форме

du ~di

=Ф{ис). (П.5>

Если емкость С шунтируется безынерционным нелинейным двухполюсником (НД), как, например, в эквивалентных схемах, диодов и транзисторов, то (рис. П. 16)

Ф {Uc) =ic = (4к - /). (П.6)

причем

1-1 {Uc) (П.7>

вольтамперная характеристика НД.

Обычно 1вх и / определяются независимо друг от друга: входной ток /вх определяется на каждом шаге численного интегрирования ур-ния (П.5) параметрами внешней цепи, а / вычисляется по подпрограмме для данного двухполюсника по значению «с вычисленному на предыдущем шаге интегрирования (П.5). В связи с этим часто в эквивалентных схемах диодов и транзисторов явно изображают только емкости переходов, а шунтирующие их НД опускают, имея,, конечно, в виду упомянутую методику вычисления тока ic и функции Ф{ис).

П.З. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СХЕМЫ

Математическая модель устройства - система уравнений, описывающая его эквивалентную схему, - строится на базе топологической структуры и математических моделей компонентов этой схемы. При этом могут быть использованы известные из теории цепей методы: уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов, переменных состояния.

Следует отметить, что применение первых трех методов приводит, вообще говоря, к нелинейным дифференциальным уравнениям высокого порядка для искомых напряжений и токов. Между тем для численного решения на ЦВМ (например, методом Эйлера) предпочтительней иметь дело с системой уравнений первого порядка (вида П.5). Однако далеко не всегда уравнения высокого порядка разрешимы в явной форме относительно производных. Поэтому для построения модели схемы широко применяется метод переменных состояния, при использовании которого уравнения составляются по законам Кирхгофа относительно независимых переменных - напряжений на емкостях и токов в индуктивностях. В результате получается система независимых уравнений в нормальной форме:

-== («1. «2. •••.«« е), (П.8)