Например М-матрица для графа (рис. П.2в) имеет вид

а М-матрица для графа рис. П.Зб имеет вид

в соответствии с Ж-матрицей составляются уравнения для напряжений ветвей (при чтении М-матрицы по строкам) и для токов ветвей (при чтении М-матрицы по столбцам). Правила записи-уравнений таковы: ток в ветви схемы; соответствующей ветви дерева с индексом данного столбца, равен алгебраической сумме токов тех главных ветвей, соответствующие строки которых и.меют на пересечении с рассматриваемым столбцом коды 1 или 0; при этом коду 1 соответствует знак «+», а коду О знак «-» в алгебраической сумме. Напряжение на ветви схемы, соответствующей главной ветви с индексом данной строки, равно алгебраической сумме напряжений тех ветвей дерева и тех источников, соответствующие столбцы которых имеют на пересечении с рассматривае-. мой строкой код 1 или 0; при этом коду 1 соответствует знак «-», а коду О - знак «--» в алгебраической сумме. Например, •согласно М-матрице для графа рис. П.2б запишем систему уравнений для токов:

т. е.

/ci2 = i2 - h = h + h ~ h J

(П.12)

и для напряжений:

ы, = - н„ - «i2-f

"2 == - «12 + «вх

(П. 12а)

Заметим, что в рассматриваемом графе нет неправильных размещений; поэтому в уравнениях:

- токи в емкостных ветвях выражаются как алгебраические суммы токов резистивных ветвей;

- напряжение резистивных ветвей (и, следовательно, токи ветвей) выражаются через напряжения емкостных ветвей и источников питания.

Таким образом, в этом случае могут быть сразу записаны уравнения переменных состояния в нормальной форме (П.П).

При наличии неправильных размещений задача получения уравнений в нормальной форме оказывается более сложной. Действительно, если в дереве оказалась ветвь, соответствующая резистивной ветви схемы (как, например, в графе рис. П.Зе), то в правую часть уравнений напряжений, составленных по М-мат-рице, войдут не только напряжения на емкостях и напряжения источников, но и напряжение на активном сопротивлении; получение уравнений переменных состояния в нормальной форме связано с дополнительным преобразованием: необходимо выразить напряжение на активном сопротивлении через емкостные.

Аналогично, если ветвь графа, соответствующая емкостной ветви схемы, не оказалась в выбранном дереве, в правых частях системы уравнений для токов окажется емкостный ток и для получения нормальной формы уравнений необходимо выразить этот ток через токи резисторов и выполнить соответствующие преобразования.

На базе описанной выше формализованной методики записи уравнений нетрудно разработать программу автоматического получения математической модели схемы на ЦВМ [37]. Однако при наличии неправильных размещений получение моделей по этой методике становится сложной и трудоемкой задачей: в этих случаях более предпочтительно получение математической модели схемы в матричной форме [39].

П.5. АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА

Пусть тем или иным способом получена математическая модель схемы - система уравнений в нормальной форме, например система (П.П). Для решения этих уравнений на ЦВМ следует выбрать некоторый численный метод (например, Эйлера, Рунге - Кут-та, Адамса или их модификации).

Выберем метод Эйлера: приближенное решение дифференциального уравнения - = /(2;) производится по алгоритму Zn+i = Zn + hf{zn)i где Л -шаг интегрирования, /г -номер шага.

Запишем алгоритм решения системы (П.П) в виде

«11 (П -f 1) = Uu (П) + ЛФ, [Мц («), «12 (")] J „ jg.

«.2("+1) = «12(«) + ЛФ[«и("),«.2(")] /

Пусть для п-го шага вычислены Uu{n) и Uiz{n). Порядок решения таков:

- по подпрограмме нелинейных двухполюсников вычисляем:

/,(«)= fl {Un {П)), h {П) = fz («12 in));

вычисляем токи: ....

/ El- Uii(n)-U,i{n) . . . Мвх (n) - Ui2 (») .

t(n) ----. i2{n)~---,

.- вычисляем:

Ф, [h,i (n), H,2 (n)] = Zcu (") = (l (") - /2 (")).

02 [m„ (n), M12 in)] = /c>= («) = 7 lk {n) - /2 (") + 2 (")];

12 12

- согласно (П.13) вычисляем Uii{n+ 1), «12(1+ 1);

- совершаем переход к (/г + 2)-му шагу.

Выбор того или иного численного метода определяется требованиями к точности расчета и машинному времени решения.

Так, более высокую, чем в рассмотренном случае точность расчета можно получить, применяя метод Рунге - Кутта, но при этом оказываются больше и затраты машинного времени.

Заметим, что при машинном расчете статических режимов, связанном с решением нелинейных алгебраических трансцендентных уравнений, применяются различные итеративные методы (метод Ньютона и др.). Для статистического анализа схем и их оптимизации используются как аналитические, так и численные методы [43]-

П.6. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СХЕМ ПО МЕТОДУ НАИХУДШЕГО СЛУЧАЯ

Номинальные значения выходных пара.метров (выходных характеристик) У] устройства определяются по номинальным значениям параметров Xi согласно ф-ле (П.1):

yi = fi{Xi, Х2.....х„) (/ = 1, 2, т).

Заметим, что номинальные значения характеристик совпадают с их средними значениями (математическими ожиданиями) в том случае, когда функции fj линейные; в противном случае возможны отличия номинальных и средних значений.

Отклонения (погрешности) характеристик у от номинальных значений, обусловленные разбросом параметров х, и влиянием различных дестабилизируюших факторов, оцениваются на основе детерминированного метода наихудшего случая или на основе статисткческих методов.

По методу наихудшего случая (методу максимум - минимум) определяются предельные, значения ;1/./макс. Угмиа и допуски Д